CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAME
On a ainsi trois equations qui definissent R. M, N, et ([iii sonl lineaires en R, en M et en N, car on peut les ecrire
039 ) R^+T4=KpHlJj
Les coefficients sont de plus des polynomes rationnels en p, car \ el sa deliver AA' sont rationnels en p.
Mais il ne faudra pas prendre de ces equations une solution quelconque. R par exemple devra etre un polynome par rapport a o. ^ o- — (/-. \ p- — 62? \ ' o- — c2. Rienne prouve pour le moment qu'une telle solution existe.
Quand on aura une solution R-— f(o- ) de la premiere equation, M = f(\J--) sera une solution de la seconde et N = f(y~) de la troisieme, ou f represente la meme expression. Les fonctions /(p-), /(,a-), /(v-) s'appellent les fonctions de Lame et les produits de deux on trois de ces fonctions s'appellent les produits de Lame.
En recommcncant ies memos raisonnements et les memes calculs a partir de l'equation (i3-) et en designant par R, M. N des fonctions de tt. r. w, on trouve que l'equation qui definit R s'ecrit de m€mc
S*l? — [ K(pw + sr) H 1 R = o cut- 1
ou, en posant h — K,^ H- H,
i i io ) — — Kp« 4-/i)R = o.
an-
on
i les conslantes K et h doi\ ent etre convenablement determinees.
50. Recherche de solutions particulieres. — Lame a donne de ces equations des solutions se rapportant aux quatre classes deja eludiees plus haut. Si f designe un polynome de degre /. en p'-, n etanl le dcgre total de R en p. on a :
Mi \\ =jT(p2) ( n = 2A-; dcgre pair, une forme);
.11) R = \ p2 — a-f(p-), R = yp2 — b2f (,?-), R = VP2 — c~f(?~)
(n = - - 1 ; (Iegr<; impair, trois formes); ("III) R=y/(p2 — a2)(p2 — ^-)/(.?'2),
(/I — >A- 2; degre pair, trois formes);
(IV) K = s ( p2— rt=)< p»— 6*)(p*^
1 // — ik- - 3; degre impair, une forme).
1 34 figures d'equilibre d'une masse liquide en rotation.
On a quatre formes de degre" pair, quatre de degre impair en o. soit en lout huit formes pour chaque entier k, au moins a parlir de h = i .
Si nous remplagons les expressions en o par les expressions correspondanles en pu, nous aurons
pu— — ■+■..., vpu — Ci = — h...,
\ pu — e ] f(pi') — -7
Les expressions V\ auront done des formes analogues a celles en p et qui seront du meme ordre en ~7 car f est du degre k en pu et
chaque radical est de l'ordre de ^- L'ordre total sera encore n.
Les considerations prec6dentes pernietlent de fixer la valour de K dans l'equation differentielle (i4°)-
Supposons en efTet qu'il existe des solutions de Tune des quatre classes indiquees et que cette solution soit d'ordre n. En developpant cette solution par rapport aux puissances decroissantes
le -) on aura
it
^ ] <7R // dl R n (n -h i)
~ II" ""' du ~ Un+X C?M2 ~~ 11"+-
En portant ces valeurs dans l'equation differentielle il vient
njn -r-l) =( 1 \ (— • \
un+*- "' \u>~> '"/ \u* /'
d'ou, en egalant les coefficients de u-<"+-),
Ainsi la constante K est determinee des qu'on se donne l'ordre de la fonction que Ton cherche. L'equation prendra alors la forme
Elle conlient encore une constante. On peut determiner celte
