CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAME

constante de fagon que la solution soit de Tun des types indiques. Si Ton n'assujettissait pas la solution a cette condition, on pourrait encore integrer Tecj nation, corame l'a fait Hermite, et la solution generate serait donnee par des fonctions doublement periodiques de seconde espece. Les travaux d'Hermite sur cette question ont ete le point de depart de travaux importants sur l'integration des equations differentielles lineaires, dont les coefficients sont doublement periodiques, travaux que domine un theoreme deM. Picard.

Lame s'est occupe seulement du cas ou la solution est de l'un des tjpes indiques.

i° Degre pair. — Soit n = ik ou 2 k 4- 2. Alors Roppartienta la classe I ou a la classe ITL On a d'abord dans la classe I

R =/(P«) = Pku + *iP*~1 " y~ipk-~u -+-.-. . -h ayt i p u 4- a.k.

Nous allons voir qu'il y a des solutions a condition que A ait des valeurs speciales, qui soient les racines d'une certaine equation algebrique. Prenons en eflfet les deux premieres derivees de R :

Si* = ^ kpk~* 11 ^^k~ 0ai p*~2 «-+-•••+ *k- i]p' u,

= [k(k— i)p*~*-u-h(k— i)(k— 2)a1p*-3w-h...]p'2a-+-[A:p*-iM-f-...]p"M.

Remplacons p' et p" par leurs valeurs ( 1 3 1 ) et portons et R dans liquation diflerentielle ( 1 4 1 ) ? ello devient

[ k( k — l)p*-3 + . . . ] (4 p3 — <?2 p — ^3 ) + [ kpjt* +■.,.] ^6 p* — i £-2) ^[«(/l + l)p + A][pi+ a, p*-i +-...].

En egalant les coefficients des termes du plus haut degre en p, e'est-a-dire du terme pk+l. on a

4 k(k — 1) -+- 6A- = />(/? -h 1) ou 2#(2/<:-hi) = -hi).

Cette equation donne /i = et determine le degre A' du polvnome en p. Les coefficients du terme en pk donnent

Oil

2 (k — 1 ) ( 2 A — i)at = n(n 4- ijaa -+- /t — It = 2 ( \ k — 1) sty = 2 (2 « — 1 ) z 1 .

Celte equation determine a, en fonction de A, par une expression du premier degre en h. On obtiendra ensuitea2 par une expression du premier degre en a, et en h, mais contenant le produit a, A. Elle sera done du second degre en k et ainsi de suite. En egalant a o le terme constant de l'identite, on obtiendra une derniere relation entre a,, a2, . . . , aA et h. En remplacant dans cette relation tous les a par leurs valours en fonclion de A, on obtiendra finalement une equation G (h) = o de degre k -+- i , dont toutes les racines sont reelles. A chaque racine, correspondra une solution du type considere. L'equation en A ainsi obtenue est l'equation caracteristique du cas etudie. Nous l'ecrirons

(i 13) CLl(h) = o.

II faudra ensuite porter ces k '+ i racines dans les valeurs des y. pour obtenir les A* -}- i solutions. Si certaines racines en Aetaient imaginaires, il en serait de meme de certains coefficients a. Par exemple a, etant une fonction lineaire de //, si h est imaginaire, a, le sera aussi. De meme si deux valeurs de h sont distinctes, les valeurs correspondantes de an et par consequent les solutions, seront egalement distinctes.

Dans la classe III l'expression R s'ecrira

H = \/pu — e\ \ 'p // — e, ( p*-' a -f- 3j p*- 2 u -h . . . "-+- ^-i )•

Le polynome en pu commence par pk~l de facon que le produit commence par p2k, car on a pose encore ici n = 2/r, et non pas 2k -f- 2 corarae dans le tableau general pour la troisieme classe. On determinera les (32, . . . , comme dans le cas precedent. H y a maintenant A — 1 coefficients et A equations. En eliminant ces /, — 1 coefficients, on obliendra done une equation caracteristique de degre k en h. Si nous designons par I1T,, III2, TTI3 chacune des trois formes de cette classe, on aura les equations caracteristiques

044) cin;(A) = o, cT\h) = o} Cf\h) = o?

qui nous donneront chacune k valeurs de h, a chacune desquelles correspondra une valeur de R, et aussi une fonction M et une fonction N.

CHAP1TRE VI. — FONCTIONS DE LAME. l3j

Pour n pair le nombre total des fonctions de Lame sera done k -h i fonctions de la elasse I et 3 A' fonctions de la classe 111, soil en tout 4 A' + 1 = 2/j -h i fonctions de Lame.

a0 Degre impair. — Soit la classe II, on a n = a A -f- i et

R = \ P" — e\(p&-±- aiP*-1 ■+•• • • J-

Le polynome en est d'ordrc 2 /r en ^« U j a done A coefficients

el A 4- i equations. L'equation caracteristique s'ecrira G"+j (A) = o. Nous anions done a envisager les trois equations

(M>> C?ij ( A) = o. G"4, (h) — o, C^, ( h ) = o,

on I'exposant II ( represente la forme ypu — e{ (pk-\-> . .)> .... Nous aurons done 3 (A -j- i) solutions de la classe 1L Pour la classe IV, on a R de la forme

expression de degre n = 2 A. -f- i . Ily a A: — i coefficients et A" relations. L'equation caracteristique unique est de degre A :

(i |6) Cf(H) = o.

Pour /i impair, nous avons done 3 (A + i ) solutions de la classe II et A solutions de la classe YS , soit en tout 2 (2 k -f- 1) -f- 1 = 2/1 -J- 1 sol 11 1 ions.

Dan» tons les cas, il y a done 2/1+1 fonctions de Lame.

Vvan! obtenu ainsi pour n donne les 2 n H- 1 fonctions R, on en deduira les 2/i-j-i fonclions M et les 2/1 + 1 fonctions N, en y remplagant R par p., puis par <\ 011 bien u par t>, puis par a\ On aura ainsi le tableau suivant des fonctions de Lamed'ordre ?i :