HA

En faisant le produit de trois fonctions de Lame correspondantes, on a 1111 produit de Lame R^M'^N',, et il y en aura :>n -j- 1 en tout. Si nous revenons aux coordonnees rectangulaires, chacun de ces j>r<><! nits sera nn polynome enx,y, z dedegre /?, harmonique, non

homogene. IJ y a An -h 1 de ces polynomes :

QA(*, y, *\ QU*,y,z), Q?/l+'(*, y, *).

En faisant une combinaison lineaire des 2n-\- i produits de Lame, on peutecrire

i—in+\ i— l

oii les A, sont 2 /* -f- 1 coefficients arbitrages, et en revenant aux coordonnees x, jr, s, on a encore une solution de AV = o, qui depend de 2/1 -j- 1 coefficients arbitraire>. Cette combinaison des Qn {xi y-> z)\ nous la designerons par Q (x, y, z).

51. Les equations caracteristiques en h ont toutes leurs racines

reelles. — Voici la demonstration donnee par Liouville et basee sur la representation du rectangle de la fonction pz dans le plan des variables complexes. Nous allons faire la demonstration pour le cas des fonctions de Lame de la premiere classe. Elle s'etend facilement aux autres cas. Pour plus de commodite aussi, nous considererons la fonction N au lieu de R.

Soit done la fonction JN(w). Prenons N| et N2 deux fonctions qui correspondent a deux valeurs hx et h2 de h. Pour toute valeur de w comprise entre w' etcu + &>', 011 la fonction est reelle,

=[n(/i^-i)p«»+ hi\Nu -^=[fl(/( + i)pw + /i2]N2. Formons alors la combinaison analogue a celle des moments

N,^1 — N 1 =(/il/i.))N1N, " dw- dw- K

et integrons entre les limites w' et co -f- w', on a Or le premier membre est nul. Eu effet, on a

N4.= p*W+ a, p*-V»+. . . -f- aj,

dNy , , .

— = 1 p w = 2P v/(pw — c,)(pw — ei)(pw — «3>,