CO

Tous les elements de l'integrale seraient alors reels et positifs, car on peut ecrire

w = lo'-t- ijto, dw — to dt,

el : varie de o a i .

Dans ce cas l'integrale ne saurait 6tre nulle. Done il ne peut pas y avoir de racines imaginaires.

Nous verrons encore plus loin que les valeurs de h sont distinctes. Nous verrons de plus que les fonctions N obtenues sont lineairement independantes et cela au moyen de la meme integrale.

52. Formation effective des fonctions de Lame. — i" Pour n = i , il y a 2 n -\- i =3 fonctions de Lame qui sont

K = y/p — c\ , R = \Jpu — e.2, R — ^pu — (-':,

ou

R = ^l^.— ai. \\ = sjf-— b% R = \ y'—c1

et trois ;i ii I res fonctions analogues pour M el N.

Formons le produit RMN, avec les trois premieres fonctions par

cxemple, on a

RAIN = y pit — e{ v 'pv— e, ^pw — ey = C.r,

a une constante pros. Or Cx verifie bien l'equation AY = o, on verifie ainsi que le produit considere \/ pit — e, y/ pv — e, ypw — ef est un produit de Lame et chacun des radicaux est bien une fonction de Lame.

2° Pour n = 2, ona2/t+i = 5. Nous aurons cinq fonctions en R, en M, en N et cinq produitsde Lame.

Formons d'abord ceux de la classe llf, ce sont :

R = ^ pu — eL \Jpu — <?,, R = \ pu — e, \ pu — <>■..

R - v pn — e-, tfpu — ei.

Le produit RMN correspondant a la premiere expression sera

RMN = \ pu— ev v pv—Ci sjpw— e-i . \ pa — e, \Jpv-e* sjjpw — e2 = Gjcv;

Cjfjk est une fonction qui verifie bien AY — o. Le produit RMN d'ou derive Cxy est bien un produit de Lame, et les facteurs sont des fonclions de Lame.

Les fonctions de Lame de la classe I sont moins evidentes. On a ici 2 A = n == 2, e'est-a-dire A • = i . Or le poljnome R.en pu doit satisfaire a la relation ( 1 4 i ) qui devient

Posons

^ (6pM + A)R.

R = pa-ha, dou — = p u = (>p2 — -

On doit avoir identiquement

Ce qui donne les relalions