CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAME. Ijl
Liquation caracteristique est done
h- = 3gp d'ou oc==qz - ( )n a ainsi les solutions
R=pu±~ fog*, M = pv ± i IN = pw ± i ^3^,
t les deux produits de Lame correspondants. Considerons par exemple le produit
RMN = (pu— ± \/3frJ (pv—l V7^
En l'exprimant an moyen de x, y, z on doit retrouver un polynonie harmonique du second degre.
( )n peut d'ailleurs trouver ce polynome par un calcul direct. Partons en effet de l'identite fondamentale (120) ou nous posons, comme on Fa deja vu n° 48,
A- = a + a'1 = 6y -\r g, 0- z= pa -i~ g-} ....
( )n obtient
jc- ( y- ^ s2 j (P M — a ) ( P (; — a) ( P w — y- )
Detcrminons maintenant a de maniere que le premier membre soil un polynome harmonique, e'est-a-dire tel que AV — o, en designant par V le premier membre. On aura
oil
3 a2 — •> y. ( e , e, -f- <?:i ) + ( ev e., -b e., e?:J 4- e3 ex) = o.
M;ns e,, e3 sont racines de l'equation
on a done
l l eiiuation en a devient
On retrouve ainsi les memos valeurs do a que celles qui sont racines de liquation caracteristique. En substituant cette valeu r de a dans Jo second membre de l'identite, on a un produit de la forme RMN, la memeque ci-dessus, ot qui est necessairement une solution de Tequation de Lame. Done chacun des facteurs est egalement une fonction de Lame.
3° Pour n = 3, on a sept fonctions de Lame du troisieme ordre. On a ici n = 3 == 2 k -h i et k = i . On aura done deux fonctions de Lame pour chacune des trois formes II et une de la forme I\ .
La solution de la forme IV est immediate :
R = tfplu — e\ \fp a — e., \^pu — e:i, R M N = (\xyz.
Pour avoir les solutions de la classe II, on pent partir de l'identite fondamenlale en multipliant les deux membres par
x = C Vpm — ei V7P u — e-2 \fp 11 — e- -
On a
Xyl
( p u a ) v p «-C|(pc~a) v'p f — e j (p w -— a ) y fp w — c
On determine a de facon que le polynome du premier membre soit barmonique, il vient
1 ^ ^ xz- \ 3x x x ^
2 \ a — ei a — c2 a — e:? / a — ej a — e., a — e:;
Cette equation determine deux valours de a et deux fonctions R. Mais cette methode qui peut etre generalised est beaucoup plus compliquee que la voie directe precedente.
Moutard a cherche a determiner tous les cas ou les polynomes barmoniques en x, y, z peuvent se decomposer en facteurs quadratiques. Ce sont precisement les cas ou ces poljnomes correspondent aux produits do Lame. II n'y en a pas d'autres. Nous vojons ainsi une grande analogie avec les fonctions spheriques. On peut la pousser plus loin.
