CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAME

53. Analogue des fonctions de Lame et des fonctions spheriques. — Co mine pour les fonctions spheriques, il ya 2/1 -f- i fonctions de Lame d'ordre n. On peut montrer que l'analogie se poursuit lies loin et que les fonctions spheriques sont des cas limites particuliers des fonctions de Lame.

Nous avons defini plus haut un point de l'espace par Intersection des trois surfaces homofocales dc parametresp, jji, v. Soient r. ) , z les coordonnees d'un point quelconque de l'ellipsoide p. Faisons le ehangement de variable suivant :

(loo) x = \ p- — a1, y = y\ vP2 — z = Z\ \ o- — c-. Le point X\ , yK , Z\ , ainsi defini, satisfait a la relation

c'est-a-dire que si p. et v varient (en res tan t dans leurs intervalles de variation), x, y, z decrit l'ellipsoide et x^ Z\ decrit tine sphere. Nous avons done efifectue, par ce ehangement de notation, La transformation homographique qui fait correspondre la sphere a l'ellipsoide.

En remplagant x, y, z par leurs valeurs (121) onobtient

. (jJL2 62)(v2 &l) 2 (-JL2— C2)(v2 — C2)

Ces valeurs verifient bien la relation x\ -\-y\-\- z\ — 1 • Le point se trouve done sur la sphere de rayon 1. En prenant sur cette sphere le svsteme de coordonnees polaires en 9 et cp, on pourra encore ecrire

(|5a) x\ — sinO cos 9, y{ = sin 0 sin 9, Zi = cos8.

Les coordonnees x{, yK , S| sont done a la fois des fonctions sym£triques de y. el v et des fonctions de 0 et cp.

Considerons alors le produit MN de deux fonctions de Lame correspondantes, d'ordre //. Ce produit MN sera une fonction de v, qu'on pourra cgalement exprimer en fonction de 6 et de cp. Cette fonction de 9 et de cp sera une fonction spherique.

En effot, considerons le produit RMN de trois focclions correspondantes de Lame d'ordre n. Soit Q„ (x, y, z) le polynome harmonique correspondant, ordonne* en groupes homogenes

Remplagons j*, z par leurs valeurs en r«, «i ; alors KM\ peut s'ecrire en mettant en evidence Fhomogeneite des groupes V

RMN

P»P„(£,Z)£) + P„-iP„,(||)i)

p" P»i f — — sin0 cose.

62 sin 0 sine, V'°\ ^"cosoj -hpra-!P«i4- Divisons tout par pw, il vient

L£! ~sin6 sine, ^ -cos0) -+- Ih

Si maintenant p augmenteindefiniment, -^tend vers i , ainsique les radicaux. II est un polynome qui reste fini. On a done

(i53) MN = P„(sinO cose, sin 6 sine, cosO).

Or MN est un polynome liarmonique homogene dans lequel on a remplace x1 y, z par les coordonnees d'nn point sur la sphere. (Test done une fonction spherique