CHAPITRE PREMIER. — PROBLEME. INDICATIONS HISTORIQUES
tube edementaire dirige* suivant l'axe polaire et celui de la masse contenue dans mi autre tube dirige suivant un rayon equatorial quelconque, et il en deduit l'aplatissement dans le cas d'une Terre homogene (Principia, t. III).
Maupertuis (Sur la figure des astres, [782) etudie l'equilibre d'une figure plane tournant autour d'un axe normal a son plan, en tenant compte d'une attraction centrale et de la force centrifuge. 11 avait sans doute en vue les anneaux de Saturne.
Maclaurin (Traiie des fluxions, 1742) applique a la masse homogene en rotation le principe de Pascal sur l'egalite des pressions, avant meme que les principes de l'Hjdrostatique soientparfaitement etablis. 11 etend a tous les points de la masse et a toutes les directions le calcul primitif de Newton. II montre ainsi que l'ellipsoide de revolution est bien une figure d'gquilibre, ou la r^sultante des forces est partout normale a la surface. Les figures d'equilibre qui sont des ellipsoides de revolution portent depuis lors le nom d' ellipsoides de Maclaurin.
Simpson en 174^ etudie les conditions d'existence de ces ellipsoides. II etablit que la condition necessaire et suffisante de l'equilibre est l'egalite de pression a la surface. II decouvre la limite superieure de l'expression
en prenant la vitesse de rotation com me parametre. Cette expression, ou 0 designe la densite et f la constante de la gravitation, doit etre plus petite que 0,2247... Pour °iLie l'ellipsoide de revolution existe. II montre enfin, par le calcul numerique, qu'audessous de cette vitesse critique il j a deux ellipsoides qui tendent respectivement vers la sphere ou vers un disque aplati, quand la vitesse tend vers zero. Ce fait sera demontre plus tard par Laplace a la suite d'une remarque de d'Alembert.
Clairaut, dans son livre remarquable sur la Figure de la Terre (1743), donne a ces demonstrations et a ces resultats leur forme 'I(':(initive. II va plus loin et etend ses calculs a l'etude d'une masse bgterogene, comme seraient la Terre et lesplanetes. II donne alors les formules qui relient l'aplatissement et la pesanteur a la densite* el § La force centrifuge, dans le cas d'une vitesse de rota-
4 FIGURES D'EQUILIBRE d'UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.
lion assez lente. Travail tellement parfait pour 1'epoque qu'il n'a ete repris et continue que plus de cent ans plus tarcl.
Ge memo probleme so posait pour la figure d'une nebuleuse qui se refroidit et se contracte en tournant. Laplace dut y songer. Des 1 --('), il faisait remarquer qu'on n'avait pas de solution generate de ce probleme, mais seulement des etudes de cas particuliers, des solutions purement empiriques.
G'est un peu plus tard que Legendre fait connaitre sa methode fondamentale qui permeltra de rechercher directement, avec l'approximation voulue, les figures d'equilibre voisines de la sphere (Histoire de V Academie des Sciences pour 1789). C'est a cette methode, de toute premiere importance en Physique malhematique, que sontdus tons les progres les plus recents sur le probleme poseici. II considere des denivellations faibles et se donne en chaque point la cote par rapport a la sphere. II la definit en four lion des coordonnees spheriques et exprime le potentiel au moven des harmoniques spheriques ou polynomes de Legendre (').
C'est l'extension a une fonction de plusieurs variables de la methode qui permet d'exprimer une fonction d'une variable par une serie de fonctions ti igonometriques, sinus et cosinus. Le potentiel provenant de l'attraction et le potentiel provenant de la force centrifuge s'expriment done ainsi en fonctions harmoniques. II suffit d'identifier l equation de la surface avec celle qui exprime le potentiel total a la surface : ce potentiel doit etre constant. On obtient entre les coefficients une serie d'equations qui permettentdc determiner les elements du probleme. G'est cette methode que Poincare et LiapounofF ont generalisee et appliquee a rellipsoi'de au moyen des fonctions de Lame, qui remplacent ici les fonctions spheriques et qui permettent de traiter le probleme dans toute sa generalite.
Laplace demontre par cette methode que l'ellipsoide aplati, peu different d'une sphere, est encore figure d'equilibre meme sous l'attraction d'un corps exterieur. II trouve egalement que l'anneau
(') La formule etait etablie pour les points non situes sur la surface. Poisson montre dans les Additions a la Connaissance des Temps pour 1829, P- 366> qu'elle s'applique a tous les points. Gallandreau precise les demonstrations de Poisson dans un Menioire sur la theorie de la figure des plane tes (Annales de VObscrvatoire de Paris, t. XIX, 1S89, et Comptes rendus, t. CIII, p. 33 et ig5).
