CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAME. l\r

,Vi . Developpement dune fonction ^ c) sur l'ellipsoi'de en une somme de produits de Lame. — Nous venons de voirles relations qui existent enlre les fonclions et les produits de Lame d'une part el les functions spheriques d'autre part. Un produit de Lame tel que M\ n'est autre chose qu'une fonction spherique, avec changement des variables /j., v en 0. cp.

De ra^me le ^ „ (9, -j) le plus general pourra s'exprimer par une Somme des in + i produits M,|N/t. On aura done

(i54) v//(o. =)= £ \min%

its i 1

( h une fonction quelconque de 0 et de o comme<t>(3, a), e'est-adire une fonction de deux angles, peut etre developpee, sous certai nes conditions, en une somme de fonctions Yn. En effectuant le changement de variables qui fait correspondre les B1 cp aux p., v, la fonction <b(9, cp) deviendra une certaine fonction de ku, v et les Y7< deviendronl des sommes de produits MN, car chaque fonction Yn se trouvera remplacee par une somme dependant en general de 2 n -f- i produits M»N#I. On aura done

(,55) v) = 2.YB = 2 2 A<'?M"N'<>

ou Ton fait la sommation d'abord par rapport aux /, ce qui reconstilue la fonction >* n, [)tiis par rapport aux 71, ce qui donne laserie.

Considerons en particulier l'ellipsoide defini par une certaine valeur de p, donnee par les formules qui lient les x, y, z aux xu Z\. II suffira d exprimer les x, y, z en fonction de y. et de v pour obtenir cette relation. Cela revient a dire qu a toutc valeur de et de v correspond un seul point de rellipsoi'de p donne et r6ciproquement .

Si maintenant nous considerons une fonction 4> donnee sur L'ellipsoi'de, e'est-a-dire n'ayant qu'une valeur en chaque point de cet ellipsoid c. <l> est une fonction de u. et de v. et d'apres ce que DO us venons de demontrer, <I> sera developpable en une serie de produits de Lame, qui sera aux notations pros une fonction spherique.

APPRLI.. — IV. 10

Remarque. — Si sur une sphere on prend une fan c lion *I> de r) et de cp qui est un polynome en x, r, z, on pent la developper suivant les fonctions Y„ et Ton a alors un developpement limite

Faisons le changement des variables de cp en p., v. Un pol vnome en x, z devient un polynome par rapport aux quantites

u, v, y';a.- — a2, \ a- — 62, \ a- — c-, \ v2 — a2, ^/v2 — 6*, yv2 — c-.

De plus, ee sera un polynome symelrique qui, sous sa forme la plus generale, comprendra egalement huit sorles de termes, combinaisons des precedents

/(K2)/(v2)3 vV'— v'v2— a2/(;x2)/(v2), ....

Inversement, en repassant aux coordonnees 0 et cp, un tel polynome se transformera en un polynome en sin^coscp, sinOsincp, cos 0. En l'exprimant en produits de Lame, ce polynome admettra done un developpement fini et l'on aura

(156) ® = % 2 X?M»nn-

55. Cas de degenerescence. — An point de vue geometrique on pent se demander quelle est la nature de ces coordonnees p. et v a l'aide desquelles nous avons pu exprimer symetriquement les coordonnees d'un point de la sphere. II est facile de voir qu'elles representent sur la sphere un systeme de coniques spheriques homofocales

— a- [jl- — b- \xl — c2

comme on a a'1 > /ji2> 62> v2> c2, les signes des trois termes du

premier cone sont f- -f- et ceux du second ■ \~. Pour le

premier on a des ellipses reelles en le coupant par le plan x = const, et pour le second en le coupant par le plan z = const. Le point M, de la sphere a pour coordonnees les parametres des deux ellipses homofocales qui passent par M, (Jig. 33).