CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAME

Le cas limit e des coordonnees homofocales est constitue sur la sphere par le systeme des coordonnees polaires. Ce sont precisement ces cas de degenerescence que nous allons examiner, lis se produisent quand deux des quantites a, 6, c deviennent egales. Tant qu'elles sont inegales, on a de verilables coordonnees homofocales.

Premier cas : a = l>. — Nous allons proceder par conlinuite et supposer d'abord a et b tres voisins avant de les faire se confondre, el nous etudierons ce qui se passe quaud ils tendent Tun vers l'autre.

a- — sp-'2, ou \j'

pose

e et /j.2

1 Jr,

vane de o a i et £ tend vers o. Yoyons successivement ce que deviennent les expressions de z. On a

X ~ VP a V (a«— 6»)(.a»— c»)

lei, a- — a3 = — c>jJ2 et a2 — b- = £, il vient

De mSmi

On a b- — a- = — s, et p.2 — 6- = £ (i — [*'2)j les autres 6 tendeut \ ers n , il vieut

On aura de memo, avec \J-- — c-= a'2 — c-,

s = v p — c Or, posons

puis et

enfin

(i;>7) sin8

/ ( ',JL '~ C'){ V '~ C " 1 — ■>, >A / ^1

y/ ( c2— a2)(c2-62) ~ v p" TV a*

u,* = sin

/a> 4' cosO = v i — sm*6 = 4/ 4~

\ a* — c- V rt

Les expressions ci-dcssus x, y, z s'ecriront, en coordonnees analogues aux coordonnees polaires, en h et cp, sous la forme

En faisant a — h, nous avons obtenu un ellipsoide allonge de revolution a u tour de O;. On aura alors

(1 58 ) — = tang 9 ;

9 desigue done Tangle du meridien du point M avec le plan zOx. Quant a ft, e'est une variable analogue a la latitude de la sphere.

Ainsi les produits de Lame a deux termes, qui sont dans le cas general des fonctions de \j. et v, et aussi des fonctions spheriques, se trouvent ici exprimes directement en fonction de 6 et de cp. Autrement dit, MN =/(/x) /(v) verifie l'equation des fonctions spheriques. C'est reellement une cerlaine fonction Y„ quand b tend versa. Alalimite devient/, (f/), en divisants'il ja lieu par une certaine puissance de £ en facteur; par consequent /, n'est plus la meme fonction que^, mais aura une expression analjtique dififerente. Le produit MN = /, (p/) /(v) n'est plus sjmetrique en \t.[ et v.

Cede limite