CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAME. l4<J

esl done une function splierique, decomposee en un produit de deux facteurs. Or nous avons trouve que les fonclions spheriques qui se presentent ainsi sont de la forme

■ i >9) x£ sin/><?3 Xfl cosy; 9 (p = <M, 2, . . . , n),

ou est fonction uniquement de 0 et donne par l'expression (ioo)

X,; = CQ-^^1-^", ou , = cosO = " v ' dtn+P V a2— c2

II s'ensuit done que Mn tendra vers sinpep on vers cospv et N vers V;. Nous avons d'ailleurs 2» + i produits MN et chacun d eux tendra vers Fun des 2ii-\-\ produits X^sinp^ etX^cos/xp.

06. Determination des fonctions de Lame dans le cas de degenerescence. — II faut etudier comment se comportent a la limite les t\ 1 n's de nos quatre classes distinguees plus haut.

i° // pair. Fonctions de la premiere classe. — On a alors M — f{^~) et N = /(v2). Nous avons vu qu'a la limite M devient mi certain poljnome f\(\j'~) en p!2=z cos2cp, e'est-a-dire

\I =/i(^)=/i(cos^9).

I) autre part, nous venons de voir que cette valeur de M est cosy^cp ou sinjocp. Cette derniere solution ne convient pas, car sin/xp est nut fonction impaire. De plus, il faut que p soit pair pour avoir ospy = j\ (cos2 9). Les valeurs limiles de M sont done

(160) coso = 1, cos 2 9, cos 4 ?, cos 2 k 9 = cos n 9.

11 \ a h —\— 1 valeurs si n — ik. Les fonctions N correspondantes sont a la limite

Cherchons de meme ce que deviennent a la limite les equations

differentielles de Lame (i/ji)

^A1 = [n(n + i)pp+ A ] \I.

Pour passer de la premiere forme a la seconde, on a pose (n° 46)

c/'x u. (hi. ,

~ = 1 — dv.

*> \'( — a1 ) ( a'-2 —b-){ ;jl2 — c2 )

D'autre part, pour etudier le passage a la limite, on a pose

[X2 — a- — i» j. '-, b- — ft- — £. fx d\x = — su'

II vient done a la limi te en posanl \y! — cos a

^ — £tj/ <7|j.' — d\x do

L'equation diflerentielle devient done

(Ci^)£^ - [ft(« + I)a'-+H]M oil ^ = KM,

Puisque la limite de M est cos/;o, ou p est pair, on a evidemment

— ^-/'M, K=— jD2, — — ; =P-

doi 11 1 a1 — c1 1

Nous savions deja que, pour que la solution M existe, il fallait que II soit l'une des k -f- 1 racines d'une equation E, analogue a l'equation caracteristique donnant h. Nous retrouvons ici ces k i valeurs donnees par

n(?i -+- i)a-~ Hi — — - o,

a- — cn(n -r- i)a--r- II2

2° patr. F one t ions de la troisieme classe. — Considerons