CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAME. l5l
d'abord les fonctions du premier type III,. On a
M = ^2 (jl ^ (U-. C2 /( ^2) = ^6(1 — ) ( a2 — C2 ) /, ( ).
Si // = 2 A" est le degre de M, le degre de f sera /c — i . Or M etant solution d'une equation differentielle lineaire, on peut diviser son expression par la constante \U(a- — c'2), il vient
M = \ i — j\ ( tj.'-) = sin 9 /i (cos2 9 ).
Nous ax ons vu, d'autre part, que M doit etre egal a sinyjcp ou a cos/? o. Comme ici la fonclion M est impaire, ce ne peut etre que sin 09 avec /; impair.
L'equation caracteristique E2 correspondant a ce cas aura a la liinile /» racines reelles definies par les formules
Les fonctions du type IIIo et IH3 donneront egalement chacune /, solutions analogues.
En e(Tet, le type IIL nous donne a la limite
M - \ [x2 — c- \ \x- — ((-/(. = a'/i(;j.'2) = COS9 /i(cos29).
L i solution est M = cos/;<p avec p impair.
Les racines limites de l'equation caracteristique sont donnees par la meme formule que precedemment ( 1 63 ) ou p est impair. Ce lont les memes que celles de E2= o du cas precedent.
Le type II [3 donne de meme
M = y ;j.2 — a- \ ij.2 — b- f(}x-)
= \x \ l — jjl'2 /, - - sin 9 cos 9 / j (cos2 9).
La solution est M = sinjocp avec p pair (o exclu).
Les valeurs limites des solutions de l'equation caracteristique -out done les mimes que celles du type I (162), avec j) pair, sauf j> = o.
En resume j pour 11 pair = 2 k, nous avons trouve k + 1 valeurs ■ It: \l et /. -hi solutions de l'equation caracteristique avec /> pair, [ > < m 1 r le type I. et /. valeurs de M avec k solutions du type 111,. Les k dernieres valeurs separent les k-\- 1 valeurs prccedentes.
Pour les fouctions du type LI Jo nous obtenons k nouvelles valeurs de M, mais les /. solutions correspoudantes de l'equation caraderistique sont identiques a celles du tj pe III, . Le type III3donne de meme k nouvelles valeurs de M et k solutions faisant partie deja du type I. Les valeurs du type II f3 separent celles de Ill2.
Nous obtenons en tout l\k + i = 2/i-f-i valeurs de M, comme il le fallait.
4° Les cas ou n est impair se traiteraient de la meme facon. Second cas : b = c. — On a un ellipsoide aplati. On pose
G'est v au lieu de (j. qui est devenu le parametre singulier et on le remplace par v\ On aura par exemple
—, /(fA2— a2)( v2— a2) (— • /a-— [J.-
On prend comme origine des coordonnees polaires l'axe Oxi et c'est (j. qui correspondra maintenant a 0. On pose ensuitev' = sing et Ton arrive aux memes conclusions.
57. Les racines des equations caracteristiques sont toutes reelles. — II est facile de le demontrer au moven des resultats precedents, en se basant sur la loi de continuite.
a-, 6-, c1 etant quelconques, nous pouvons prendre n pair et conside>er seulement la classe I dont l'equation caracteristique a k -f- I solutions et la classe III, qui a k solutions. Nous pouvons supposer de plus que le coefficient de la plus haute puissance de II dans l'equation caracteristique est l'unite. Laissons alors a el c fixes et faisons varier b d'une facon continue entre les deux. Les coefficients des equations caracteristiques E, et E3 varient d'une facon continue ainsi que leurs racines. Si deux racines sont reelles, elles ne peuvent devenir imaginaires qu'en devenant d'abord egales.
"Si alors nous faisons tendre b vers «, nous savons que, pour b — a. les deux equations E, et E2 degenerent et nous en connaissons les racines. Elles sont toutes reelles et celles de E2 s'intei-
