CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAME. l5'S

calenl entre celles de Ej. Ecrivons le tableau des racines, on a (E,) Hj H2 II:; ... uk m+i

(K,) H'| Hi ... IT,

Faisons varier main tenant b en sens inverse et tendre vers c. Les racines varient d'une facon conlinue et si par exemple deux rai i nes de E,, lelles que II, et H2 devenaient egales, la racine H', de Ea qui est restee constamment comprise entre et H2 deviendrait egrale a leur valeur commune. Nous aurions une racine double de 1 'une des deux equations qui serait racine commune aux deux Equations. Or on demontre qu'il est impossible qu'il en soit ainsi.

En effet, considerons les equations differenlielles qui definissent M pour les deux classes

^A1 = [n(n 4- i) p v -t- H, ] M, = [/i(rt + i)pc + H, J M'3

II, et H', etant les racines des equations E, et E2. Nous supposons que ces racines deviennent egales, H|==H'n et nous multiplions |es Equations par M' et — M, pour les ajouter; nous avons

dm d-w

dv1 dv1

dou

B„ dM „ dW

M —— — M — — = const.

dv dv

Or les functions M et M' sont de la forme

Si Ton ajoute une periode 2w ou 2to , M ne change pas, sa derivee uon plus. Au contraire, M' et sa derivee changent de signe pour 1 une des periodes, comme on l'a vu. On a done necessairement

„,dM A1 dM s, , M'

M —7- — IV1 —r- = o, dou — = const. dv dv M

Cette relation est impossible, car alors M' et le produil p^vp^v seraient exprimables rationnellement en fonction de pv et admetiriiient les periodes 2co et 2w', ce qui n'est pas, d'apres ce qu'on a vu au n° 47.

On ne [>eut done pas avoir II, — M(. Les equations E, et E2 ne

peuvent pas avoir de racines communes. Les racines de Tune et l'autre equation restent done toujours distinctes et toujours reelles.

Remarque. — On pourrait faire celte demonstration sans recourir aux proprietes des fonctions elliptiques. En eflet, en

revenant de v a jjl, on aurait

avec

I) M — M — — = const.

M=/(.jl2) ct M'= y/fJ.2— 62 vV2 — c2/,(jjl2).

Si Ton substitue ces valeurs de M et M' dans I'equation differentielle, les irrationnelles ne disparaissent pas, B etant en facteur. II faut alors que la constante soit nulle, ce qui entraine en integrant

M = CM', /({x2) = c \\^ — 62 sjv--— c2/4(fx2).

Ge qui est impossible, le premier membre etant rationnel, le second non.