CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAME

Mais \ et el V , etant des produits deLame, on a AY = o et AV , = o. Le premier membre est done mil. 11 en est de meme de l'integrale du second membre etendue a la surface de l'ellipsoide. Elle va nous donner la formule cherchee.

En effet, les surfaces p, p., v etant orthogonales, si p varie seul, le point figuratif reste sur l'intersection des surfaces y. = const, et v = const., el decrit une trajectoire orthogonale aux ellipsoides. ( hi a done

i 166 > ds- = a- dp2-+- [j- d\L- — y2 dv-, ds = dn = a dp.

Si Ton suppose 0 croissant, dp est positif, cette relation donne ]a direction de la normale exterieure a l'ellipsoide E0. On a done, d'apres cette formule et la formule (ia5),

dV dV 1 dV du £ V ' V

dn a do sc da do a A

Mais \ . etant la derivee par rapport a u, sera la derivee de RMN par rapport a t/, e'est-a-dire V=R'MN, car R seul depend de u par l'intermediaire de p. En tenant compte de la valeur de /, on aura Gnalement

dll ^/(p2^}JL2)(p2 v2)

\ , donne une expression analogue et l'integrale double ci-dessus devient

/( RAIN . R , M 1 Ni — R, M, Nj . R' MN ) da = o.

Or l'integrale etant etendue a la surface de l'ellipsoide, on a p = p0. Les fonctions R, R', R,, R', sont des constantes que Ton peut faire sortir du signe d'integralion. De plus, 1= /0 et il vient

< RR', — R 1 R ' ) j f ^MNMiNi da = o.

s> R., e^t different de R, le premier facteur n'est pas mil. On a done

j J^/oMNJNI.N, dn = 0.

• Inns le cis on \|\ et M,N, sont different*

l 56 figures d'equilibre d'une masse liquide en rotation.

Remarque . — II resulte da calcul que nous venons de faire que Ton a, d'apres la formule (A),

• du , -I

Gette variable / represente done la derivee de la variable elliptique prise suivant la normale oxterieure. On peut etablir cette formule directement. En effet, on a obtenu deja

da . o ,i

d? y/(p2 —a°-)( p2 — 62 ) (p2 iC2) A

Reportons-nous au rectangle de variation de w, e, (p; on a vu que

du fa

pour it = o, on a p infini et p decroit quand u croit, done ~ est

bien negatif, il faut le signe — . On aura ensuite

du du dp i j

dn dp da a A

On voit done la raison de l'introduction de / dans les calcul> :

e'est la derivee normale de a.

59. Calcul des coefficients du developpement en serie de produits MN. — Considero ns un point sur l'ellipsoide p = p0. Illui correspond des valeurs bien determinees de u et de c, ou de \j. et dev. Considerons de meme une fonction donnee de la position du point sur rellipso'ide E0. Ge sera une fonction de v ou de p., v. Nous avons vu qu'une telle fonction est developpable, en une serie de produits de Lame, sous certaines conditions

(168) fc.fr, v) =2 AAM,N,.

II s'agit de determiner les coefficients A* de ce developpement. Pour cela, multiplions les deux membres par loM^'N^da et integrons sur toute la surface de E0. D'apres la formule precedente, tons les termes du second membre sont nuls, sauf le terme A , et Ton a

(1(H)) J jT*(^ »)hMkKkd9 = \kJ J hWlKlda.