CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAME

Ces deux integrates ne dependent pas de p. il so Hit de faire voir pour cela que d<j n'en depend pas, ce qui est deja cerlain a premiere vue puisque dn est l'element de surface sur l'ellipsoide p = p0. Designons par ds\ l'element differentiel de Tare de courbe correspondant a la variation dy. de >j. seulement et par ds2 l'element correspondant a dv. Ces elements sont orlhogonaux et Ton a

ds\ = 3 (/'j., ds-i = v f/v, ih — ds\ ds.j, = da ch.

— ^ / — ch. <h

dix d\

^; — B-C- est reel, car B- et C2 sont de signes contraires. En sub's tituanl /„ di dans l'integrale ci-dessus, on obtiont l'expression sui- \;mte en ;jl et v seulement, qui permet de calculer A* et les coeffi-

cients analogues

I I * ( u , v ) M* N k {J'~ d* th

; f f m|nI-

Les conditions de convergence sont le:? memes que celles des developpements en fonclions spheriques.

60. Cas particulier du polynome symetrique. — Nous avons un cas interessant et important, quand le polynome <I> est symetrique en y. et en v et par rapport aux six radicaux en [x et v, \ (u2 — etc. Ce polynome etant suppose de degre /?, le developpement sera limite* a // produits de Lame, le dernier etant de degre n :

(j), |JL3 V) = V A/- M/ N*'

En appliquant la melhode gen6rale precedento, on trouvera done

is coefficients mils des que M/, depassera I'ordre //, e'est-a-dire J J 4>| v 1 /„ M/ N/ afa = 0 (7. > n ».

Ce resultat aura Jieu des que lc degre /, du produit MaN* depassera le degre n de ^(p, v). (Test la u n resultat analogue a celui que nous avons vu pour les polynomes de Legendre, pour lesquels on a, des que le degre de \ depasse celui de P,

I P(^) Xn(x) dx = d.

Ce resultat va d ailleurs nous permettre de demontrer le theoreme suivant, tres important, sur les fonctions de Lame.

61. Theoreme sur les racines du polynome f(o-) qui figure dans les huit classes des polynomes de Lame. — Ce polynome en p2 a toutes ses racines reelles, distinctes et comprises enire a- et c-. Nous aliens, pour chaque point, demontrer que si Ton fait la supposition coritrairc, on arrive a une absurdite.

1" Racines reelles. — Supposons qu'il y ait des racines imaginaires. Decomposons le polynome en facteurs du premier degre en p-, puis en nn produit de deux polynomes, l'un cp ( p 2 ) comprenant toutes les racines reelles, l'aulre sp(p2)? ^es racines imaginaires :

sb(p-) conserve un signe constant, cp (p2) seul peut changer de signe quand on pareourl son domaine de variation.

Considerons ia premiere classe des fonctions de Lame, on a

Faisons maintenant $(f*, v) = <p(p-2)<p(v2), nous avons

ff®(^ v)Z0MifcNit = f /,{.T(fi»)?(v»)p4i<n»)iMv«)i*F.

Mais, d'apres la formule precedents (170), l'integralc est nulle puisque le degre de cp et par consequent de O est inferieur a celui de M/t. Or ceci est impossible puisque tous les elements de la seconde integrate sont positifs, a moins de supposer que le degre de 'I soit mil, e'est-a-dire qu'il n'y a pas de racines imaginaires. Pour les classes II, III, IV, il n'y a plus a considerer des radi-