CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAME
caux. Par exemple, pour la classe II, nous avons
W*= \ V2— a- ©(p.2) 4'(h-2)5 N/t— v'v'2— a- ?(v'2)'Kv2);
nous posons alors pour la fonction <I>
v) = \ — a- yv2 -a* y([^'2) ?(v2).
La fonction consideree plus haul devient
<!>(>. v)J0M*N;fcrfa
a2)(v2— a2)[?(|i.2) ?(v2)]2 <Kn4) 6(v2)rffx rfv.
Ces integrates doivent etre nulles; or lcs elements de la seconde conservent encore un signe constant, car on a a2>> p-2> v2. 11 faut (I mic encore que le degre de ^ soit Jiul.
2° Racines distinctes. — 11 n'j a pas de racines multiples. Supposons qu'il y ait des racines multiples et soient pt, p2, ... les ordres de multiplicity. Si y>, est pair, on auru un terme de la forme (p2 — a,)2"1; si /)2 est impair, on ecrira le terme correspondant (p- — a2)2fc+, = (p2 — «2)2rts(p2 — Finalement, on reunira en an polynome 9 toutes les racines distinctes, en un poijnome d> toutes les racines paires; le signe ^ ne changera pas : on aura
r(p*) = (e«— ai)(p»— a,)..., (p2— a^'Cp2 — *s.)2n^ • • = ?(P2) <Kp2)-
()n a ainsi la inemc decomposition et l'on arrive a la meme conclusion que dans le cas precedent. 11 faut que le degre de d< soit /?///, e'est-a-dire ici qu'il n'y ait pas de racines multiples.
1 Racines comprises e/itre a2 et c-. — Decomposons encore noire polynome /(p2) en un polynome 0 contenant toutes les racines comprises entre a2 et c- et un polynome 'I contenant toutes les cacines exte>ieures a l'intervalle a2, c2. Puisque et v2 reslent pompris entre a- et c2, ce dernier polynome conserve un signe Constant. On verrait de la meme facon qu'il doit etre de degre mil. II n'y a pas de racines exterieures a a2, c'2.
G'est la une generalisation des propri£tes du polynome de
1 ( m > FIGURES D EQUIL1BRE D UNE MASSE L1QUIDE EN ROTATION.
Legendre qui a toutes ses racines reelles, dislinctes et comprises entre — i et -f- 1 .
On |H>urra consulter an sujel des racines des forictiohs de Lame un travail de Stieljes, dans lequel l'auteur demon tre les theoremes
par des considerations mecaniques.
C>^2. Fonctions de Lame de deuxieme espece. — Lame a intro-
duit une nouvelle fonclion pour resoudrele probleme du potentiel. Gonsiderons liquation diflerenlielle qui definil R :
— — = [ n ( n -r- .1 ) p u -+- It J H .
k etant une valeur numerique, solution de l'equation caracteristique altacliee a cette equation. Comme on l'a vu, la fonclion de Lame R n'est qu'une integrate particuliere de cette equation. Gomme lintegrale generate doit comporter deux conslantcs arbitrages, il exisle une autre solution particuliere, qu'Hermite a etudiee en detail (Comptes rendus, t. 85, 80, 89, et OEuvres completes, t. Ill, p. i 18 et 265). On designe par S cette seconde solution el e'est elle qu'on appelle fonclion de Lame de seconde espece. Elle verifie done l'equation differentielle des fonclions de Lame et l'on a
^ = [n( n — i) pu -r- h]S.
Multiplions cette equation par -+-R, la premiere par — S et ajou-
tons, on a
K -y— — b ~j— = o, (I on R -j S -j- — const.
at*2 du- da du
On pent particulariser la constante, car si S est une solution, KS le sera aussi. On prend alors in -f- i pour valeur de cette constante, n £tant le degre deR. Onappellera, d'une fagon plus precise, fonci tion de Lame de seconde espece, celle qui satisfait a la condition
/ -: , D dS c d\\ (i;i) S — — = 2/i + i.
(Ill (Ill
Divisons par R2 et integrons, on a
