CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAME. I (V I

Eii integrant de o a u, la constante additive est parfaitement (kterminee. L'iut6grale generale de l'equation de Lame* sera linalemcnt G|R + CL»S.

63. Proprieties de la fonction S. — i° Les produits tels que RMN verilient l'equation de Laplace. Nous avons vu que cela tient a ce que R est solution de l'equation differentielle de Lame. Com me S jouit de la meme propriety le produit SMN veriHe aussi Tequation A\ = o.

2° Cherchons comment se comporte S dans le voisinage de u = o ou de p = oo. Pour cela, ecrivons l'expression de S en fonction de p, on a

' :> n H- I p dp

Quand p varie de oo a a, dp estnegatif, par consequent S est positif pour toutes les valeurs de p. Cherchons sa valeur principale. Or, on a en ne conservant que les valeurs principales des termes avant cl sous le signe d'integration, R 6tant de degre n,

/ z-l/t-h >. C P ' ' " P 0-ln+l ' ' ' 07t+l ' * " *

Ainsi, le developpement de R commence par pn et celui de S par • • Tout produit RS commence done par un terme de degre — i en p.

On pouvait le demontrer directement, car en essayant de verifier 1'equation differentielle qui definit R et S par un developpement de la forme pa^rt0-j- — -h . . . J j on trouve, en idenli(iant les termes du degre le plus eleve,

Cette equation a deux solutions, a = n qui correspond a R et a = — ( n -\- i ) qui correspond a S.

APPI-LL. — IV.