CHAPITRE VII. — FIGURES DEQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOIDES. ifi'J

potenliel, puisque chaque terme est harmoniquo. G'est bien l'expression du potenliel.

Probleme exterieur. — 11 suffit de prendre la serie suivante comme valeur du potenliel a l'exterieur :

175) V,. = V ^.RJ'S/ AI/A/,.

Elle est convergente comme V0, car on a Sk<C S?> puisque p > p0 a l'exterieur. De plus, chaque terme est harmonique, et elle se reduit a A () sur l'ellipsoide.

Ges deux fonclions Vr, et Ve se raccordent bien sur la surface de rellipsoide 011, en d'autres termes, la fonction generale A est continue quand on traverse la surface de rellipsoide.

Telle est la solution donnee par Lame.

65. Potentiel d'une couche infiniment mince. — On peut toujours considerer ce potentiel V0 comme du a une couche homogene infiniment mince d'epaisseur variable repandue sur rellipsoide. Cette epaisseur £ peut etre considered) comme positive ou negative. Nous supposons la densite egale a l'unite. La masse du cjlindre el€mentaire ayanl pour base da sur E0 est done %d<j. On peut dire ainsi que la densite superficielle est egale a £.

( -herchons a determiner la valeur qu'il faut donner a £ pour que 1c potentiel de cette couche soit egal a \ 0 sur rellipsoide, a \ ; cl a \ a l'inlerieur et a lexterieur.

£ etant considere comme la densile superficielle, nous avons vu, 11" 12, que Ton a

dVe d\j , ' Y du e da i 1

Calculons d'abord la valeur de la derivee suivant la normale exterieure. On a, en remarquant que p setil ou et par consequent S seul varie,

< )n aura de meme pour la normale interieure, en remarquant

lG4 FIGURES D EQUILIBRE D'UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.

que 1c signe de ln est change et que R seul varie,

Une fois les derivees prises par rapport a p, il faut faire p = p0. On a finalement

D'apres la relation (171) entre les fonctions de Lame R et S, on obtient alors pour la valeur de £

(176) r =2j -7^— «*'oMifeN*= /.^ «*M; \

Ce n'est plus une serie procedant suivant les produits de Lam 6, puisqu'on a en facteur /0, qui est une fonction de et de v.

On a done obtenu les formules qui sont fondamentales pour la suite :

(177) yo=2 a*R°s*M*N*> K = J<>2 frtM*N*> P* =

Inversement, une couche d'epaisseur infiniment mince etant donnee, on peut, a l'aide des formules precedentes, ecrire son potentiel. Pour cela, £ etant suppose donne en chaque point de E<> comme fonction de p. et v, il suffit de developper en une serie de produits MN le rapport j- d'apres la formule ci-dessus, ce qui donne les (3*. On en deduit les a/, et, par consequent, V0.

66. Application. Potentiel de la couche homothetique. — Gonsiderons une couche r6duite a un seul terme du developpement? avec s infiniment petit; on a

(177') C = ^oM/,N/,. V0= -^-sRi'Sm.N,.

Prenons le cas le plus simple de tous, celui ou la fonction de Lame qui entre dans cette expression de £ est de degre o. Alors R0= M0= N0= 1 et la formule generale donne

S = RjT " du = f "du = u.