CHAPITRE VII. — FIGURES D'EQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOIDES. l

Unsi done une couche ellipsoidale d'epaisseur £ == £ /„ M0N0 == e lu produit un potential qui, cn chaque point de 1'ellipsoide, a pour valeu r

Appliquons les formules generales pour le potentiel interieur it exterieur, on a R/, = 1\V == i el S£=:M0.a l intericur et = a a I'ext^rieur, d'ou

Le potentiel est done constant a 1'int^rieur et le meme qu'a la surface. L'attraction est done nulle a l'interieur. Elle s'annule quand on traverse la couche.

V I'exterieur, les surfaces equipolcntielles seront les surfaces // = const., e'est-a-dire p = const. Ce sont des ellipsoides homofocaux .

Ce resullat que nous trouvons ainsi par l'applicalion des fonctions de Lame, est d'ailleurs bien connu. On sait, en effet, que 1 "action de la couche comprise entre deux ellipsoides homotheliques et concentriques est nulle sur un point interieur. Nous allons montrer que e'est bien la couche definie par £ = £ /0.

Considerons les surfaces equipotentielles /'(#, y, z) == C. L'clement de normale compris entre les deux surfaces voisines C et C-f-dC etanl c///, on aura pour expression de la force au pointM :

m aintenan t l'elli psoid e

Po — c2

En faisant varier C, on a des ellipsoides homothetiques et concentriques. Considerons ces surfaces comme des surfaces equipotenlielles, I'expression de la force sera

Or, la quantite sous le radical a deja etc calculce (124); si, de

plus, on tient compte de la valeur d« y. (ia5), on a

/ x a 2 lv /„ 2 \

(179) = 2 - = -r— : — = 7- ( K = = const. .

an p A-o /o Po '» \ A0p0 /

Or, A0 (ia5) et p0 sont constants sur l'ellipsoi'de, /0 est fonction de [J. et v (i64). Dans le cas actuel, r/G est egalement constant et infiniment petit; on a done bien pour l'epaisseur de la couche comprise entre deux ellipsoides liomolhetiques et concentriques :

(179') tin = £ = s^o3 ou e = A0po dC.

La formule Ve= w obtenue dans ce cas donne une signiiic;ition mecanique de la variable elliplique u.

67. Notation des fonctions usuelles de Lame. — Nous nous servirons des fonctions des ordres o, 1,2.

Dans l'ordre o, nous avons une seule fonction de chaque variable :

R0 = i, M0 = 1, N0 = 1, Dans l'ordre 1, nous avons trois fonctions, in -f- 1 = 3 :

(180) Hi — a1. W, = \ p— 62, R3=Vp2— -c23

et les formules analogues pour M| , N, , etc.

Pour passer des coordonnees elliptiques aux coordonnees cart£siennes, on se servira des formules

i i8i) x = 1 li 1 M , N 1 . v = //,n,Ar2N2, z = /^R.M.A".,, ou

Dans l'ordre 2, on a 2 /* -f- 1 — 5 fonctions. D'abord

R v = i/(p2— &2)(p2 — c2) , R5 = l/<P2— «8)(pa— c*)) R6=V/(P2- a2)<p2—

Puis