CHAPITRE VII. — FIGURES D'EQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOIDES

ou y. et ol sont deux constantes que nous avons calcul^es. Les cinq fonctions analogues en M et IN s'obtiennent en remplacant p par jul el v.

Entre les fonctions des deux dernieres classes, on a les relations tvidentes

|{ , = \\, R3) Rfi = R, R , . RG = R R9.

On en deduit pour les produits deux a deux de x% r5 * les expressions

yz = //,//, H; M, N4, -SJ? = A:,//, R3MSN5, .rjK = Ai A2RCM6N6,

£e volume de V ellipso'ide sera donne par l'expression (R,, R2, R3 representant les axes)

^83) T= |-R1R2R3= I wRiR*= | kR2R5 = | *R3R6.

/.es cosinus directeurs de la normale a Fellipso'ide s'expriment aussi facilement au mojen de ces fonctions. Soit n la normale e\lerieure; cherchons cos(/i, x). Nous avons vu (n° 58) que la normale a l'ellipsoide s'obtient en considerant ^ et v comme constants et p seul variable, et en faisant ensuite p = p0. On a done

, . dx dx dx

COS(/l, #) = -y- = -y- = =- •

«s cm a rtp

I) autre part, dans l'expression de x, en mettant la variable p en c\ idence, on a

x = /n v p2— a2M,N,, </./• = /llp MjNj rfp.

( )i . on a encore

p A lo

y/p2 — «2 y/p2 — "\<>us arrivons ainsi aux formules

y p2— 62 ^pS__c2= /R,

cos(n, a?) = Ai/MiN] R*, / cos(n, y ) = MM2N2R5.

e©s(», a) = MM9NaH6.

l(JS FIGURES D EQUILIBRE D UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.

()<S. Methode de Poincare. — Poincare se propose de trouver des figures d'equilibre infiniment voisines des figures d'equilibre ell i j >soidales deja connues.

Suit un ellipsoide materiel E, homogene, et V son potentiel. Donnons a la surface de Tellipsoide une deformation infiniment petite. On obtient ainsi un nouveau volume attirant, infiniment voisin de E, qui peut etre considere comme obtenu en ajoutant ou retranchant certaines portions de la meme ma tie re en certains points. On peut, en efFet, considerer l'£paisseur 'C comme positive en certains endroits et negative en d'autrcs.

Soit \/; le potentiel de cette couche. Nous savons le calculer et l'exprimer par les formules etudiees ci-dessus. 1. 'ensemble de l'ellipsoide de la couche cree un certain potentiel \ , qui donnc la relation

C'est a l'aide de cette formule generate et en calculant cette difference \ , — V que Poincare trouve les principaux resultats nouveaux

de la theorie.

Si le volume reste constant, il faut ajouter comme condition complementaire la relation

ftid<s = o.

09. Potentiel de l'ellipsoide. — Nous allons d'abord, par cette methode generale, etablir les formules qui donnent le potentiel d'un ellipsoide homogene exprime an mojen des fonclions de Lame.

Consid6rons l'ellipsoide E rapporte a ses axes Oxyz. Soient P(x, y, z) un point de l'espace et V(#, y, z) le potentiel en ce point. Deplacons infiniment peu, par une translation suivant Faxe des x, l'ellipsoide E qui viendra ainsi enE' (fig. 34). Le centre s'est deplace de 00'= e. Le potentiel en P du a E' est egal a V, et ce Y\ est egal au potentiel de E sur un point P' de coordonnees x — £, y% z. En appelant done V le potentiel de la couche, on aura

v= yi — v = V(.r — £,7j 5)V(a?,x, -s)= —

Ainsi, pour calculer ~ , il suffira de calculer le potentiel de la