CHAPITRE VII. — FIGURES D'ECjUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOIDES

on encore en resolvant par rapport a ~>

(.)- SoK.,— Sj 15, S3 a,— S, R|

W Y=-^m 1 —"Kij

D'autre part, le volume est

T = |nR1HsR3.

Ce sont les equations trouvees au Chapitre II (61), (62) pour definir la surface d'£quilibre. Elles sont mises seulement sous une autre forme. On se donneTet co et les equations donnent les axes, lei elles determineront p*-' — a2, 0- — b'2, p2 — c2, la valeur de p riant celle qui correspond a la surface libre. Nous pourrons done ecrire les deux equations suivantes, qui ne dependent que des rapports des axes :

0)> S0R0— SiRj

S2R2 S, Rj S3R3— SiRj

Ces formules donnent les rapports des axes. On deduira ensuite leur valeur exacte au moyen de 1' equation du volume.

Remarque. — Puisque w2 et T sont toujours positifs, on doit avoir, d'apres (192), les relations S2R2 — S,R|>>o et S ,Ra — S,R| > o. En effet, on a

lii sons passer les facteurs R, et RJ sous le signe d'integration en les designant par R'22 et \\\-. On peut ecrire

S, R, — Si R

x'(i-«) rm-m

Or, Je rapport ^| = ^ ^ decroit constamment de 1 a 0 quand

o- varie de oc a a2, cest-a-dire quand a varie de o a w. Com me

— est la valeur que prend a la limite dintegration n, on a

conslamment -^y > — • L'integrale est done positive et I nn a bien

i Kf5 i S3R2— SjRi> o.

71. Resolution des equations dequilibre. — On a deux cas, eomme on sail.

i° E llipso'ides de Maclaurin. — Faisons b = c. e'est-a-dire R2 = R3. L'equation (194) est salisfaite. II reste a discuter liquation (193). On introduit pour cela le parametre /. rapport de la distance focale, an petit axe. 11 est inutile de recommencer cetle discussion qui donne deux figures ellipsoidales si la vitesse de rotation reste au-dessous d'un certain maximum. ( Voir Chap. II.)

20 E llipso'ides de Jacobi. — Nous supposons P^.^Pi.t. Poincare met alors Fequation (194) sous une forme remarquable que nous allons etablir.

Cette equation pent s'ecrire dabord

(S.JU— S3R,)R,R3= SiRt(R|— R§).

En remplagant S2 et S:} par leurs expressions

Mais on a R4 = RjR3 et, de plus, on pent diviser les deux lermes par la quantite constante et non nulle

11 vient done