CHAPITRE VII. — FIGURES D EQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOIDES

fjnalement, on a l expression remarquable

, CN RiS, R,S,

et c'est sous cetlc forme que nous etudierons l'equation (194 ) dans lc cas des ellipsoides de Jacobi.

72. Pesanteur a la surface. — En un point P de la surface, ^attraction lotale sur une masse egale a l'unite est une force normale a la surface. C'est cette force qu'on appelle aussi Fintensite de la pesanteur au point P et* qu'on designe par g. En designant

par U la fonction des forces, et par la derivee de U suivant la normale exterieure, on a

~ 1 y Z " ^ ~ dne

Puisque l'equilibre existe, il j a identite entre cette fonction U et le premier membre de l'equation de l'ellipsoide, d'ou

U = K -3— — 9 ■+• + -iV-C;

\Po— al Pl—b1 ?o~cl J

d'ou

Or, nous avons vu que si y, z) representc un ellipso'ide,

ce radical a une expression de la forme CQ"sL • On a done la formule

1 197 ) gl — const.

Le produit gl est done constant sur toute la surface de l'ellipsoide. Pour determiner la valeur de cette constante, il suffit de la calculer en un point, par exemple au pole ou Eon a y = z = o et U = V, ainsi que x = 11? :

On a encore au pole \j. = b et v — c, puisque y = o et 5 — o; on

aura done pour la valour dc / en ee point (164 )

On obtienl done finalement

(200) */=^ = |*R?Sf.

73. Expression de la deformation de l'ellipsoide qui fournit une figure d'equilibre infiniment voisine. — Considerons un ellipsoide en equilibre relatif tournant autour de Ox. Deformons-le en lui ajoutant une couche infiniment mince d'epaisseur tantot positive et tantot negative, dont le volume total est nul. Lc volume algebrique de la couche ttant nul, cola revientbien a une simple deformation.

Nous oblenons ainsi une nouvelle figure constitute par l'ensemble de l'ellipsoide et de la couche. Si cette surface nouvelle est une surface d'equilibre, la nouvelle fonction de forces est constante en tous les points de la nouvelle surface.

Soieut E la surface de l'ellipsoide primitif et E' la nouvelle surface (fig. -M )• La normale.exterieure donnera le sens positif de £ avec PP" = La valeur de la fonction des forces L est constante en tous les points de l'ellipsoide tels que P et represented par

La valeur, au point voisin P" de cette fonction U, sera

Cette valeur est la resultante dc la rotation et de 1' attraction dc E en P, 11 faut j aj outer le potentiel Y'de la couche sur elle-meme, et la nouvelle fonction des forces totales sera en P"

Pour que la nouvelle surface soit une surface d'equilibre, il faul que cette fonction soit constante surtoute la surface E'. Com me U„