CHAPITRE I. — FORMES LINEAIRES ET QUADRATIQUES
définissent une substitution linéaire. Faisons-en rinveision, nous obtiendrons
Si ron remplace dans la forme quadratique les variables x'- par leurs expressions en fonction des variables^, (dites variables adjointes)^ on aura
La forme <ï> (Ç) sera dite la forme adjointe de la forme F {x) et inversement celle-ci e«t l'adjointe de la précédente.
En éliminant les variables a;' entre les équations (4) et l'équation 4> = iP'i/, on obtient immédiatement 4> sous forme de déterminant
11. Transformée d'une forme quadratique par une substitution linéaire. — Effectuons sur les variables x^ une substitution linéaire
(T) .ar*'=aix* (f. = || a^ || ^ o);
nous obtiendrons !a nouvelle forme
F(ir) = gikxix'',
dite transformée de la première par la substitution (T ).
Les nouveaux coefficients de la forme sont reliés aux anciens par le*, formules
g/u= gikotiif..
Supposons d'abord ^ jzi o (it en est alors de même de ^, d'après le théorème fondamental de la décomposition en carrés) et introduisons à côté
des variables x^ et a?* leurs adjointes ^/°ct ^/.
(') On a évidemment
n-ik —
X mineur de l'élément gjk dans g,
ce qui peut encore s'écrire
ik =z
à(iogg) àgik.
On passe des ^i aux a:'- par une substitution de module ^;
On passe des a?* aux œ^ par une substitution de module fi.;
On passe des x^ aux ^, par une substitution de module — .
D'autre part, le théorème de dérivation des fonctions composées donne
aussi
substitution linéaire de module [jl.
L^ensemble des quatre substitutions linéaires successives que nous venons d'envisager est équivalent à la substitution identique et le théorème du n" 4 nous donnera immédiatement
Cette relation esldu reste absolument générale, car si ^ est nul, il en est
de même de g puisque la forme, sous ses deux expressions, doit être décomposable en un même nombre de carrés.
12. Substitutions linéaires transformant en elle-même une forme quadratique donnée. — Soit ¥{u:) une forme quadratique de discriminant non nul, proposons-nous de trouver les substitutions linéaires T qui la transforment en elle-même, c'est-à-dire qui soient telles que l'on ait
Choisissons une substitution U particulière qui ramène F à la forme canonique
la substitution V = U-^TU (qui s'appelle la transformée de T par U~*) transforme évidemment en elle-même la forme quadratique F, c^est donc une substitution orthoj^onale.
On en déduit l'expression la plus générale de T sous la forme
T=UVU-»,
V étant une substitulion orthogonale arbitraire.
13. Interprétations géométriques. — Le lecteur sait que tous les théorèmes que nous venons de rappeler sur les formes linéaires et quadratiques sont, dans le cas de trois variables, susceptibles d'applications géométriques importantes et qu'ils sont à la base de toute la géométrie analytique.
Dans le cas de plus de trois variables, le schéma géométrique fait naturellement défaut, mais il sera néanmoins commode d'employer un langage conventionnel calqué sur celui de la géométrie ordinaire.
