CHAPITRE 1. — FORMES LINÉAIRES ET QUADRATIQUES
Considérons maintenant lès deux systèmes d'équations linéaires
(II) Xa.= o.
Il ressort immédiatement des relations que nous venons d'établir entre les demî-dérivées partielles et les formes linéaires X;t qu'ils sont équivalents.
Or, pour le système (II), les inconnues a^S ^^, ..•, ^^^ sont principales, il en est donc de même pour le système (I) et par suite le déterminant symétrique formé à l'aide des p premières lignes et des p premières colonnes du discriminant est un déterminant principal, ce qui revient à dire que le rang de ce discriminant est nécessairement égal au nombre des formes linéaires de la décomposition (i).
On obtient alors très facilement le nombre des conditions pour que ce rang soit égal à p. Ce nombre, qui d'après le n" 1 devrait être de (;i — pY^
s'abaisse ici â-(/i — p){ri — p -\- i) par suite de la symétrie du discriminant.
8. Formes quadratiques à coefficients réels. — Ce que nous venons de dire s'applique à des formes quadratiques à coefficients quelconques. Dan*; la pratique, les formes que l'on rencontre sont généralement à coefficients réels et l'on peut désirer faire la décomposition en ne faisant intervenir aucun élément complexe. La méthode de Gauss permet alors de mettre F sous la forme d'une somme algébrique de carrés de formes linéaires indépendantes, soit
F(.r)=:(X.)'+(X,)^-l-...-f(X;t)^-(YO'-(Y,)^-...-(Yç)«.
Il est alors possible de démontrer que, dans les diverses décompositions, non seulement le nombre total des carrés est toujours le même, mais encore que A^ et g séparément ont des valeurs fixes.
Ce fait remarquable est connu sous le nom de loi (T inertie.
En effet, supposons que nous ayons trouvé une seconde décomposition
F(a;)==(X',)'^-.(X;)2-h...-4-(Xi-)'-(Y',)2-(Y;)2-...(Y'^0^
(') Il est très remarquable qu'on puisse toujours choisir un déterminant principal tiré du discriminant en le formant de lignes et de colonnes se croisant sur la diagonale principale. Nous donnerons aux déterminants formés de cette façon le nom de déterminants médians et nous pouvons encore énoncer la remarque que nous venons de faire sous la forme suivante :
Si, dans un déterminant symétrique, tous les mineurs d'un certain ordre sont nuls^ et si parmi les mineurs d'ordre immédiatement inférieur il en est de différents de zéro, certains de ces derniers sont nécessairement des déter^ minants médians.
Nous aurons l'occasion de nous servir plus loin de cette propriété.
lO
CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GEOMETRIQUES ET MECANIQUES.
et, pour fixer les idées, soit k le plus petit des deux nombres k et k' . On aura alors q > q\ puisque â: -4- ^r = /c ' -+- q' .
Considérons les deux systèmes d'équations linéaires
i Xi = o, I Y', = o,
Xi = o, Yt = o,
Xj= o,
Xa:= o,
Le premier contient au moins n — k — q' inconnues non principales (et ce nombre est au moins égal à I, puisque /c -h ^' < A:' -f- 5-'^ rt), le deuxième en contient exactement n — k — q, c'est-à-dire moins que le premier.
On peut donc trouver une solution du système (I) qui ne satisfasse pas à toutes les équations du système (II).
Si l'on substitue maintenant la solution ainsi trouvée dans les deux décompositions dont nous avons supposé l'existence, la première donne un résultat numérique négatif, la deuxième un résultat numérique positif (ou peut-être nul). Ces deux résultats sont contradictoires, il est donc absurde de supposer k ^ k', on a par conséquent h— k' et par suite aussi q = q' {^).
9.'Forme polaire d^une forme quadratique. — Soient deux séries ■de n variables x^ et jk*; considérons la forme quadratique F (\x-h iiy) et développons-la par la formule de Taylo.r suivant les puissances de X et de jx; le coefficient de 2 X|jl s'écrit sous l'une ou l'autre des deux formes suivantes
- sc^ F'yi ou — v'* P'x-i .
La forme bilinéaire ainsi mise en évidence porte le nom de forme polaire de la forme quadratique donnée et nous conviendrons de la représenter par la notation
£n explicitant les déiivées partielles, on a ^ussi
P(x\y) = gik^'y^.
10 Forme adjointe d^une forme quadratique. — Soit une forme quadratique à discriminant non nui, les formules
Çi= -F.i..= ^//,a?^-
(') Lorsqu'un des deux nombres A' cl 7 est nul, la forme quadrali(|uc csl dilc définie.
