CHAPITRE I. — FOKMES LINÉAIRES ET QUADRATIQUES. l
Un ensemble de valeurs numériques données à n variables x'- sera dit représenter un point M, et l'ensemble des points obtenus en donnant aux variables toutes les valeurs possibles formera une multiplicité à n dimensions.
Dans le présent Chapitre, les x^ jpueront le rôle de coordonnées cartésiennes et nous n'effectuerons sur elles que des substitutions linéaires à coefficient constants.
Une telle substitution x ■=. "Y x pourra alors s'interpréter de deux, façons :
i" On pourra regarder les x^ et les x^ comme représentant le même point, rapporté à des systèmes de référe/tce différents, et les formules de la substitution seront celles du changement du système de référence;
1° On pouria regarder les x^ et les a?' comme représentant deux points différents rapportés au même système de référence, les formules de la substitution définiront alors une transformation ponctuelle linéaire.
C'est généralement le premier point de vue que nous adopterons ici.
Le point O, dont les coordonnées sont toules nulles, sera dit l'origine du système de référence et nous définirons le carré de la distance OM par la valeur d'une forme quadratique des coordonnées de M que nous prendrons en général sous la forme
Lorsque nous adopterons C(;tte définition de la dislance, nous dirons que. les x^ forment un système de coordonnées cartésiennes normales {^).
Les seules substitutions linéaires qui conservent la forme de l'expression précédente sont les substitutions orthogonales; celles-ci conespondent donc, suivant le point de vue, soit à un changement d'axes cartésiens normaux, soit à un déplacement laissant fijte l'origine (*).
Le lieu des points dont les coordonnées sont des fonctions linéaires d'un paramètre sera dit une droite. Eu particulier, les équations
^'= I si ■ ^ / ^^ étant un indice fixe)
définissent l'un des axes de coordonnées, l'axe O'x^.
Le lieu des points dont les coordonnées sont reliées par une équation linéaire sera dit un plan.
Un ensemble de n nombre a', non tous nuls, définit un point P distinct
( ' ) Ce sont de ces coordonnées normales que nous nous servirons dans la suite de ce Chapitre; le le( Leur reconnaîtra sans peine les propositions qui seraient encore vraies en coordonnées cartésiennes générales.
(') Un déplacement Oi^l donc défini comme une transformation linéaire conservant les distances. En réalité il y aura lieu de distinguer deux classes de déplacements suivant (|ue le module de la substitution est égal à -+- i ou à — i; les déplacenicnls de cette deuxième classe se ramènent à ceux de la preniicrc en l;iisant suivre ces derniers d'un retournement.
CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GÉOMÉTRrQUES ET MÉCANIQUES.
du point O et par suite aussi une direction OP dont ces nombres seront \es paramètres directeurs ; cette direction ne change pas si l'on remplace les a** par des quantités proportionnelles. En général, on peut choisir le facteur de proportionnalité de telle sorte que l'on ait
(ai)«H-(a2)2
les a^ seront alors les paramètres directeurs principaux de la direction. Le seul cas où l'on ne pourrait pas effectuer cette réduction serait celui où les a^' satisferaient à la relation
la direction serait alors dite isotrope.
L'angle de deux directions de paramètres directeurs principaux a' et p' sera défini par la formule
cosV = a»[3i-ha«^î
qui se conserve, comme on te vérifie immédiatement, dans une substitution orthogonale.
Soit F {x) = gikx^x^ une forme quadratique, les équations
¥{x)=i\ et F(:r) — G
définiront respectivement une quadrique (ayant l'origine pour centre) et son cône asymptote.
Étant données deux directions a' et jâ', la relation
exprimera qu'elles sont conjuguées par rapport à la quadrique et nous pourrons bâtir, comme en géomclrie ordinaire, une théorie des diamètres et des plans diamétraux. Nous laisserons au lecteur le soin de la poursuivre dans ses détails.
En particulier, le plan diamétral conjugué de la direction a^ a pour équation
F(a \x) — gaa.ix''— o;
il iie contient la direction elle-même que si celle*ci est parallèle à une génératrice du cône asymptote et il n'est indéterminé que si elle est parallèle à une génératrice multiple de ce cône (s'il en existe).
On pourra également, comme en géométrie ordinaire, trouver une infinité de n-èdres proprement dits (*) dont les arêtes seront deux à deux conjuguées par rapport à la quadrique et leur recherche sera intimement liée au problème de la décomposition en carrés de la forme quadratique.
(') Les axes cartésiens normaux sont par conséquent deux à deux orthogonaux. (-) Nous entendons par là un enseral)le formé de n droites (et des multiplicités linéaires qui les relient) non situées dans un même plan.
