Le tenseur de torsion. — Nous pourrons alors poser

yi ri -= o T'

f *■ .rs~^ '■.sr— ^l.rs}

ce qui donnera

(42) Ttrs-^T:^^s^trs'

Le tenseur T.Vj (symétrique gauche par rapport aux indices r el s) caractérisera, d'après M. Gartan, la torsion de l'espace considéré.

Quant aux quantités y'^'rs^ elles obéiront à la loi de symétrie droite

(43) try^yir.

mais ne présenteront pas le caractère tensorièl (sauf naturellement vis-à-vis des changements de variables linéaires).

On pourra, dans ces espaces à torsion, introduire exactement comme nous l'avons fait plus haut la notion de connexion métrique, et en efTectuantla fusion entre ces deux connexions, on démontrera que la donnée arbitraire des composantes cp' de la connexion métrique, jointe à celle des composante.: T^^j du tenseur de torsion^ détermine entièrement les composantes de la connexion

(') On vérilierait immédiatement du reste sur les formules (8) (dont la dér monstration ne s'appuie pas sur lu loi de tommutativité) que ces expressions présentent bien le caractère tensoriel.

170 CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES ET MÉGANIOUES,

affine par les formules

I / dgi, d^ks à^i,,

ôxl^

dx^

dx^

-+- - V^/.v®>tH- gks^i— gik^s I -f- T/,,-,-H- T//,,--h T,./Ar.

Les espaces de M. Wejl apparaissent alors comme un cas particulier des espaces de M. Gartan qui comprennent aussi a fortiori les espaces riemanniens et les espaces euclidiens.

Enfin, nous citerons encore pour terminer, dans un ordre d'idées analogue, un Mémoire de J. A. Schouten (^Math. Zeitsclirift t. XIII, 1922) et des travaux encore en cours de publication de P. Dienes | Sur la structure mathématique du Calcul tensoriel {Journal de Mathématiques pures et appliquées^ t. III, 1924)].