MM'] = (M', P, M, Q
[dD ] =7log(MI, MJ, D, D).
Celles ci sont calquées sur celles du paragraphe précédent, seul dans la seconde le coefficient i a été supprimé pour rétablir la correspondance entre la réalité des éléments. Ces formules transposées dans l'édifice logique y donneront, pour définir la [distance] et l' [angle], les formules
(') Il est à remarquer que dans i'é<iifice euclidien les notions de [dislance | et d' [angle] jouent des rôles différents; alors que la notion d' [angle] résulte de la seule donnée dans lé schéma des points cycliques, celle de [distance ] nécessile en plus une unité de longueur. Nous trouverons plus loin un édifice géométrique dans lequel ces deux notions joueront des rô,'-cs entièrement symétriques.
On aurait pu aussi, dans le même ordre d'idées, soumettre le schéma euclidien classique à une transformation dualistique, on aurait enclore obtenu un autre schéma' de l'édifice euclid'ien dans lequel ces roks auraient été échanges.
(^) Le point I désigne le point à l'infiui de la direction oy, J celui de la direction ox.
OÙ a?, j/ ; ic', jk' sont naturellement les coordonnées des points M et M', m et m' les coefficients angulaires des droites D et D'.
Nous obtiendrons ainsi l'édifice logique pseudo-euclidien ou encore hyperbolique; nous n'approfondirons pas ici son élude et nous nous contenterons de renvoyer le lecteur à un Ouvrage déjà cité (E. BoRELy Introduction géométrique à quelques théories physiques).
III. — LES ÉDIFICES GÉOMÉTRIQUES CAYLEYENS. L'ÉDIFICE GÉOMÉTRIQUE CAYLEYEN A ABSOLU PSEUDO-RÉEL.
119. Définitions générales. — Nous allons examiner maintenant un édifice géoniétrique dû à Gayley dans Jequel il y a dualité complète entre les notions d'angle et de distance. Nous développerons cet édifice en même temps qu'un de ses schémas que nous appellerons le schéma cayleyen classique.
Le schéma aura pour support un plan dans lequel nous tracerons une conique que nous appellerons Vabsolu.
Par définition un [point] de l'édifice logique sera représenté par un point du schéma (i). Etant donnés deux points M et M' du schéma, soient P et Q les points où la droite qui les joint coupe l'absolu, nous appellerons [distance] des deux [points] M et M' correspondants la quantité
(-2) [MM']=llog(M, M', P, Q).'
De même, une [droite] de l'édifice logique sera représentée par une droite du schéma, et nous définirons 1' [angle] de deux [droites] D et D', se coupant en O, par l'expression
(3) [D^']=^Iog(D, D', Ofi, Of.'),
0;i et OfJi.' étant les deux tangentes menées du point O à l'absolu.
K et K' sont deux constantes numériques arbitraires, nous les choisirons en particulier de telle sorte qu'à des éléments réels du schéma correspondent des [distances] et des [angles] réels.
Ces définitions mettent bien en évidence la symétrie que nous avons signalée plus haut entre les. notions d' [angle] et de [distance].
Nous ne développerons pas la théorie dans l'espace, les définitions seraient analogues et l'on en trouvera une remarquable étude dans les Principes de Géométrie Analytique de Darboux.
(*) Il est bien entendu que les mots que nous plaçons entre crochets se rapportent aux êtres de nature purement algébrique de rédifice logique; au contraire, les mots sans crochets gardent leur signification euclidienne. Nous représenterons aussi par la même lettre les êtres correspondants de l'édifice logique et du schéma, ce qui ne risque de créer aucune confusion.
