CHAPITRE VII. — APERÇUS DE GÉOMÉTRIE CAYLEYENNE. I

Dans le plan, nous distinguerons deux cas suivant la nature de l'absolu : 1° L'absolu est une conique imaginaire à équation réelle (ce que nous

appellerons une conique /?5«?Mrfo-/"e;e//e) ; la géométrie s'étend alors à tout

le plan du schéma ; 2" L'absolu est une conique réelle convexe ; comme nous le verrons par

la suite, le schéma ne comprendra que les points à son intérieur.

Pour des raisons que nous verrons plus tard, on ne considère pas les cas où la conique serait à équaiion imaginaire ou bien ne serait pas convexç.

120. L'édifice Cayleyen à absolu pseudo-réeL — Soit/(a7,jK, z) = 6 l'équation de l'absolu (en coordonnées cartésiennes homogènes ou même en coordonnées trilinéaires) ; la forme quadratique/ sera ici supposée définie positive. Soient deux points réels du schéma M et M' de coordonnées respectives oc, y, z et x',y\ z\ un point quelconque de la droite qui les joint aura des coordonnées de la {ovrae'x -^-Xx^y -\-\y\ z -\-\z' et les X des points P et Q d'intersection de cette droite a.vec l'absolu sont donnés par l'équation du deuxième degré

f{x-^lx')^f{x)-^i\f{x\x-)-^\'^f{x')=.o (V).

Si )vi et Xo en sont les racines, le rapport anharmohique p des quatre points M, M', P, Q est égal à ~-t on a donc

Àj X2 Xi -f- A2 y'AjX

ce qui s'écrit encore

Les racines Xi et Xj étant certainement imaginaires, le second membre de cette équation est compris entre o et i et nous pouvons poser

= cosa

« étant un angle réel, qu'on peut supposer compris entre o et tc. L'équation en p se transforme en la suivante

et donne

p = cos2a liz i sin^a = e**'"*.

On en déduit pour la [distance] MM' la formule

[MM'] = -^ logp = — (d= 2ta-h ihiT:).

(') Nous représenterçns, pour abréger l'écriture, la forme quadratique par f{x) et la forme polaire par / (^cja?' ).

Si Ton veut que cette dernière soit réelle, on prendra pour K une quantité imaginaire pure ; nous poserons

Nous obtiendrons ainsi la formule fondamentale de Gayley

servant de définition à la [distance].

Parmi l'infinité de déterminations qu'on peut en tirer pour la [distance] [MM'], il y en a toujours deux (que nous dirons principales) qui sont

comprises entre O et ttRi l'une entre O et - irR, l'autre entre - itR et tcR J.

Si les [points] M et M se déplacent sur la [droite] qui les porte, la plus grande de ces deux déterminations ne pourra pas dépasser ttR. La [droite] oayleyenne (dans le cas de l'absolu pseudo-réel) doit être regardée comme une ligne fermée de [longueur] ttR. Deux [points] placés sur elle la partagent en deux segments, dont les [longueurs] sont précisément les deux déterminations principales dont nous venons de parler et l'eiïsemble de toutes les déterminations de la [distance] se déduirait de celles-là en leur ajoutant un plus ou moins grand nombre de tours sur la courbe et en en changeant au besoin le signe.

121. [Distances] orientées. Relation de Chasles. — La [distance] telle qu'elle vient d'être définie par les deux déterminations principales est la [distance] arithmétique des deux [points]. Si l'on se borne à l'étude <le segments portés par une même [droite], il est possible de la compléter par une notion de sens.

Considérons en effet trois [points] sur une [droite], M, M', M", on vérifie immédiatement la relation

P et Q désignant toujours les points de rencontre de la droite du schéma avec l'absolu .

On en déduit quMl y a entre les [distances] mutuelles des trois [points] (sans préciser leurs déterminations) la relation

[MM'] ± [M'M"] dz [M'M] = Nt:,

tout à fait analogue à la formule de Chasles.

On pourra alors convenir que les [distances] sont comptées algébriquement et sont comprises entre — -R et-f-TrR ; on choisira arbitrairement le signe de l'une d'elles (ce qui revient à orienter la [droite]), et Ton déterminera ie signe des deux autres par la coi\dition que la relation de Chasles

[MM'J -h [M'M"] + [!M"M ] = o