CHAPITRE VII. — APERÇUS DE GEOMETRIE CAYLEYENNK. I

soit vérifiée, tout à fait comme on ferait pour des distances comptées aur un cercle.

12-2. [Distance] de deux [points] infiniment voisins. — De la formule ( 4) on tire

MM'] f{x)f{x')-\f{x\x')Y

(5.) sinî

Si l'on revient maintenant aux coordonnées non homogènes (en faisant z = z'=i dans la foi^mule précédente) et si l'on supposa que les deux [points] donnés sont infiniment voisins (c'est-à-dire que les différences de leurs coordonnées sont infiniment petites), on obtient facilement la formule donnant l'élément linéaire de l'édifice cayJeyen sous la forme

^ ' [A^, y, OP

123. [Angles] cayleyens. Formule fondamentale de la trigonométrie cayleyenne. — Soient de même deux [droites] réelles D et D', se coupant en un point O; les tangentes à l'absolu, OfJt et 0|Jt.', issues du point correspondant du schéma sont imaginaires conjuguées et par suite le rapport anharmonique (D, D', 0[jl, 0[jl') est un nombre complexe de module égal à l'unité ; nous serons donc conduits à donner à la constante K'^ une valeur imaginaire pure, nous la prendrons égale à 2î (de façon que les [angles] soient déterminés à tt près comme dans l'édifie^ euclidien) et lès [angles] cayleyens seront définis par la formule

(7) [oiL)^J = i.log(D, D', O^t, 0(a').

Il nous sera maintenant facile d'établir la formule fondamentale de la trigonométrie cayleyenne. Soit en effet un [triangle] ABC, le faisceau des tangentes A [x et A fx' menées du point A à l'absolu, a pour équation

Xq, yof Zq étant les co(yrdonnées du point A.

Appelons [3 et y les deux points de rencontre de ces tangentes avec le côté BC ; r [angle] BAC s'exprimera à Taide du rapport anharmonique des quatre droites AB, AG, A^, Ay; or celui-ci est égal au rapport anharmonique des quatre points B, G, [i, y, si bien que V [angle] BAG pourra s'obtenir par application de la formule (4) à condition d'y faire R = i et d'y prendre pour absolu la conique ^ (ic, y, z) = o,

Vf/(-^o)/(^i)-/n-^ol^t)][/(^o)/(^2) -/H^J-^s)]

l8o C4LqUL TENSORIEL. APPLIGATiONS GÉOMÉTRIQUES ET MÉCANIQUES.

^lîj'ii ^1 I ^2,^2} ^2 désignant les coordonnées respectives des points B et C.

En comparant cette formule avec les formules (4) et en désignant par [a], [b], [c ] les [longueurs] des côtés du triangle et par [A], [B], [C] les mesures cayleyennes de ses [angles], on obtient par un calcul facile la formule fondamentale de la trigonométrie cayleyénne sous la forme

(S) cos ~-i = cos ~T^ cos i-^ -hsini—sin^ cos[A].

Cette formule présente une similitude remarquable avec la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique, nous en verrons sous peu la raison.

124. Lien entre l'édifice cayleyen ( à absolu pseudo-réel ) et la géométrie non-euclidienne de Riemann. — C'est un fait historique bien connu que, dans l'étude des fondements de la géométrie classique, les géomètres hésitèrent longtemps à classer le postulatum d'Euclide parmi les postulats irréductibles et qu'ils s'essayèrent en vain à en trouver des démonstrations.

L'irréductibilité de ce postulat n'apparut clairement que lorsque divers géomètres, dont Lobatschewsky, Bolyai pt Riemann, réussirent à construire des édifices logiques non contradictoires en rejetant ce postulat et quelques autres.

En particulier, Rieitiann, rejetant ce postulat d'Euclide et admettant de plus qu'une droite n'est pas toujours déterminée de façon unique par la donnée de deux de ses points, construisit la Géométrie riemannienne.

Nous n en exposerons pas ici le développement (^), nous nous contenterons de signaler qu'on y rencontre upe formule fondamentale de trigonométrie identique à la formule (8) et que, partant de là, il est facile de montrer que l'édifice logique construit par Riemann coïncide avec l'édifice cayleyen à absolu pseudo-réel. Tout au plus pourrait-on regarder la géométrie rieçuannienne commp lin autre schéma de l'édifice cayleyen. Cela ne diminue nullementrimporlance de Pun des édifices car, si les développements en sont les mêmes, les bases en sont profondément différentes.

125. Schéma sphérique de l'édifice cayleyen à absolu pseudoréel. — Construisons dans un plan II portant des axes de coordonnées rectangulaires le schéma cayleyen par rapport à l'absolu

(F) JC2^-JK2+ R2=0 (2),

( ' ) Voir à ce sujet une note de Poincaré dans le Traité de géométrie de Rouchk

et COMBEROUSSE,

(-) Ce choi'X particulier de l'absolu ne diminue pas la généralité, car on peut toujours s'y ramener en soumettant au besoin le schéma à une transformation homographique, ce qui, comme dans le cas euclidien, conduit à un schéma équivalent.

CUAPITRE VII. — APERÇUS DE GÉOMÉTRIE CAYLEYENNE. l8l

et traçons une sphère S de centre G, de rayon R, tangente au plan en O.

A tout point M du plan n nous pouvons faire correspondre les deux points m et nii^ où la sphère est coupée par la droite CM ; nous considérerons plus spécialement celui de ces points (soit m) qui est le plus voisin du point 0

Le cône asymptote de S (c'est-à-dire le cône jsotrope de centre C) coupe le plan II suivant le cercle pseudo-réel Y qui nous sert d'absolu. A une droite D du plan II correspond sur la sphère uf grand cercle, aux points de rencontre de D avec F correspondent les points de rencontre de ce grand cercle avec le cône isotrope de somiiret G ; ces deux points sont les points cycliques de la direction de plan GD. Il s'ensuit immédiatement que la [distance] cayleyenne de deiix [points] M et M' est égale à la longueur de l'arc de grand cercle reliant sur la sphère les points m et m' correspondants.

De même, à une droite du plan 11 tangente à l'absolu corres[)ond un grand cercle dont le plan est tangent au cône asymptote de S et Ton en con.clut comme précédemment que 1' [angle] cayleyen de deu\ [droites] a même mesure que l'angle des grands cercles qui leur correspondent.

Ge schéma présente l'avantage de conserver aux représentations des notions d' [angle] et de [distance] un sens euclidien. 11 nous montre clairement pourquoi l'univers cayleyen à absolu pseudo-réel est limite, pourquoi les [distances] n'y sont déterminées qu'à un multiple de ttR près et aussi pourquoi la formule fondamentale de la trigonoméli ie cayleyenne se confond avec celle de la trigonométrie sphèrique (i).

126. [Aires] cayleyennes. — Étant donné un triangle infinitésimal de sommets M, M', M", nous prendrons comme définition de 1' [aire] comprise à son intérieur la formule

(9) [A]= -[M.M'][MM"-]sin[lVÎ'MM"J,

les éléments figurant dans le second membre ayant naturellement la signification cayleyenne des [distances] et dés [angles]. Les considérations du paragraphe précédent montrent immédiatement que sur le schéma sphèrique r [aire] cayleyenne est représentée par l'aire (au sens euclidien du mot) de la portion de sphère correspondant au triangle.

(') Il est cependant à remarquer que la construction du schéma sphèrique de l'édifice cayleyen à deux dimensions fait appel à la notion que nous avons de l'espace euclidien à trois dimensions. Si l'op voulait développer l'ëdifice cayleyen à trois dimensions, to\it ce que nous avons dit sur le schéma cayleyen classique subsisterait sans modifications importantes {voir Darboux, loc. cit.) alors qu'au contraire le schéma sphèrique nous ferait ici défaut. Dans un ordre d'idées analogues, bien qu'il ne s'y agisse pas de l'édifice cayleyen, on pourra se reporter aussi à l^rticle suivant : R. Thiry, Sur la possibilité de se représenter l'espace fini et sans bornes de la théorie de la relativité {Rev. gén. des Se, i5 avril 1922).

l8'2 CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GKOMÉTRIQUES ET MÉCANIQUES.

De cette définition on déduit facilement la formule permettant d^évaluer une [aire i quelconque. Avec le système de coordonnées que nous avons choisi ici, Télément linéaire de l'édifice cayleyen est donné par la formule

Un calcul facile montre que Pélément d'| aire | correspondant à l'intérieur du petit rectangle compris, sur le schéma, entre les droites d'abscisses x et X -f- c/.r, d'ordonnées y el y -h dy a i)our expression

(il) (/a =- "— ,. dx dy ( = ).

L'jaircj con>prise à l'intérieur d'un domaine quelconque sera alors fournie par la valeur de l'intégrale double

K^dxdy

(,r.H-^2^ir-)2

étendue à la portion du schéma correspondante.

En particulier F [aire] d'un triangle quelconque est égale au produit par R' de l'excès sur tt de la somme de ses [angles] et r[aire] totale du [plan] cayleyen est finie et a pour valeur ^ttR^.

127. Quelques remarques sur les schémas cayleyens. — L'étude comparée des deux schémas va nous permettre de mettre en évidence des propriétés importantes de l'édifice cayleyen à absolu pseudo-réel. Le schéma classique du plan II présente un avantage sur le schéma sphérique en ce sens qu'à un point, de l'édifice logique correspond un point unique du schéma classique et au contraire deux points du schéma sphérique; mais, comme nous allons le voir, ceci ne va pas sans entraîner quelques difficultés.

Gomme nous l'avons dit plus haut, l'espace cayleyen est fini (au sens cayleyen de la notion de [distance]), les points du schéma classique qui sont à l'infini doivent être traités sur le même pied que les autres. Sur le schéma sphérique du reste, ils correspondent aux points du grand cercle H de la sphère dont le plan est parallèle à 11 et ils ne se distinguent en rien des points du reste de cette surface. Supposons maintenant que nous

(') Le lecteur pourra traiter sur ce rfs' les problèmes qui ont fait l'objet du Chapitre V. Il trouvera naturellement que l'espace cayleyen a une courbure constante positive, égale à — • La formule ci-dessus est la même que la formule (22)

du Chapitre V, définissant l'espace elliptique.

{') Ce calcul peut être edéctué directement en partant de la définition de l'aire triangulaire cl<^mentaire donnée par la formule (9); mais le résultat peut également se déduire de la seule considération du ds"^ en appliquant la formule classique ( c/t — V ^^ — 1'' dudv) de la théorie des surfaces. L'identité des résultats