CHAPITRE VII. — APERÇUS DE GÉOMÉTRIE CAYLEYENNK. l

donnions au [point] M un déplacement quelconque, il sera naturel de dire que le déplôcement est [continu] (au sens cayleyen du mot) s'il est possible de le décomposer en déplacements élémentaires tels que la [distance] entre deux positions successives quelconques du [point] M soit petite. Sur le schéma sphériquc, à un déplacement [continu] (au sens cayleyen), correspond évidemment un déplacement continu (au sens euclidien); il n'en est plus de même sur le plan II et si le point m de S traverse le cercle H, le point M s'éloigne à Tinfini et en revient en général par la direction opposée, lî y a du reste plus, traçons autour du point M un petit contour fermé portant une flèche d'orientation, il lui correspond sur la sphère deux petits contours tracés autour de m et de m^ et dont les sens d'orientation sont différents puisqu'ils sont symétriques par rappoVt au centre G. Supposons maintenant que le point M se déplace dans le plan en entraînant son petit contour et qu'il revienne après un certain parcours à sa position de départ. Ceci peut avoir lieu de deux façons différentes; il peut se faire que le point/??, de la sphère revienne lui aussi à sa position initiale et l'ensemble du schéma reprend exactement son aspect primitif; au contraire, iJ peut aussi se faire que le point m revienne coïncider avec la position initiale du point /??! et alors le sens du contour entourant M apparaît comme renversé par le déplacement. Il est évident que cette particularité n'a pu se présenter que si le point m a traversé le cercle H, c'est-à-dire si le point M s'est éloigné à l'infini sur son schéma.

Pour reconnaître, sur le seul schéma classique, la nature des déplacements, nous distinguerons le& deux côtés du plan II que nous représenterons conventionnellement par n^ et IT et nous considérerons comme distincts deux points géométriquement confondus mais appartenant à des côtés différents. Nous conviendrons par exemple qu'à celui des deux points m et rui le plus rapproché de O correspond le point M^. et à l'autre

le point M Nous orienterons de même chaque côté du plan au moyen

d'une convention uniforme en nous plaçant debout sur le côté considéré, il en résulte que le sens d'un contour portant une flèche est difl'érent

suivant qu'on le considère comme appartenant à D^. ou à II Dans le

déplacement que nous avons considéré plus haut en deuxième lieu, tout se passe comme si le point M^ était revenu en M, le sens d'orientation du contour n'ay^ant pas changé.

obtenus par ces méthodes est évidente puisque nous avons trouvé un schéma sur lequel les notions de [distance] et d' [angle] cayleyens correspondent à la distance et à l'angle euclidiens. Au fond, cette concordance lient à ce que la géométrie cayleyenne, de même que toutes celles que nous avons considérées dans le corps de cet Ouvrage, est euclidienne dans Vinfiniment petit. Il s'ensuit qu'en géométrie cayleyenne les notions d'angle et de distance ne sont en réalité pas indépendantes, la donnée de la seule notion de distance entraîne celle de l'angle et ce qui est précisément remarquable au plus haut point dans la géométrie cayleyenne c'est qu'on ait pu choisir une définition de la dislance (jui soit Corrélative de celle de langlc qui en découle naturellement.

t84 CALCUL ÏENSORIEL. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES ET MÉCANIQUES.

Ceci est la caractéristique des surfaces unilatères. Nous pourrons alorà imaginer que le plan II' a un bord à l'infini et qu'on a raccordé entre eux chaque couple de points de ce bord pris dans des directions opposées (i). Nous appellerons El' la surface ainsi modifiée et c'est elle que nous prendrons comme support du schéma cayleyen classique.