IV. — L ÉDIFICE GÉOMÉTRIQUE CAYLEYEN A ABSOLU RÉEL

1^8. Généralités. — Reprenons Tétude de l'édifice cayleyen au moyen du schéma classique, en supposant cette fois que l'absolu est une conique réelle F que n.ou« supposerons convexe. Nous calquerons nos définitions sur celles données plus haut en les modifiant seulement de façon à établir la correspondance ^ntre la réalité des éléments. Or ceci n'est possible que si nous limitons nos considérations à la région intérieure à V. En eflet. prenons un point O de la région extérieure et soient deux, droites D et D' issues de ce point; les tangentes ijienées par lui à F seront deux droites réelles O |jt. et O [jl' et le rapport anharmonique (D, P', O ij.^, O \x') sera ivégatif ou positif suivant que- les couples D, D' et O |i., O jji' seront enchevêtrés ou non; il sera donc impossible de choisir la constante K' de telle sorte que l'i aagle ) de deux [droites] réelles soit lai-méme réel quelle qijpe soit leur disposition.

C'est pour cette ^raison que nous supposerons l'absolu convexe e^qu^e nous limiterons le schéma à son intérieur (-). Tout [point] de l'édifice cayleyen sera alors représenté par un point du schéma, toute [droite] paç un segment rectiligne intérieur à F.

129. [Distances et angles]. — Prenons, deux points quelconques M et M' intérieurs à l'absolu; les points de rencontre P et Q de la droite qui les joint avec la conique F sont certainement réels et les deux couples M, M;' et P. Q ne sont pas enchevêtrés; nous définirons donc la [distance] des deux [points] correspondants de l'édifice cayleyen par la formule

(Pi)

[MM'l=ilog(M, M', P, Q),

K étant une constante réelle que nous appellerons p •

De façon analogue, considérons deux [droites] dont les segments représentatifs se coupent à Fintérieur de l'absolu (nous dirons que ces [droites] sont [sécantes]). Les tangentes menées à Fabsolu par leur point de ren-

(') Il y a là quelque cliose d'analogue avec la façon bien connue dont on constitue une surface unilatère à l'aide d'une bande de papier dont on raccorde les extrémités après un retournement.

(^) C'est également pour des raisons analogues que nous rejetons les absolu» dont l'équalioi) ne serait pas réelle.