CHAPITRE Vil. — APERÇUS DE GÉOMÉTRIE CAYLBYBNNK. l

contre sont imaginaires conjuguées, le rapport anharmonique que ces tangentes forment avec les deux droites est ici encore un nombre complexe de module égal à l'unité et nous conservons par suite la formule de définition des [angles] cayleyens sous la forme

(i3) LDD']=,^^Iog(D, D', Oî., G/).

On pourra alors répéter tous les raisonnements faits au paragraphe III en y. remplaçant seulement R par Rj dans les expressions relatives aux distances. En particulier, la formule de Cayley deviendra

On y voit immédiatement que la | distance | cayleyennp est nulle si les points M et M' sont confondus et qu'elle grandit au contraire indéfiniment si l'un des deux points s'approche de l'absolu. Cet absolu joue donc le rôle â'injini inaccessible pour l'intérieur de F et, a fortiori^ l'espace extérieur à cette coniqtie est lui-même inaccessible.

Deux [droites I dont les segments leprésentatifs se coupent sur l'absolu ont un [point I commun à [distance ] infinie, elles seront dites [parallèles]; deux [droites] dont les segments représentatifs se coupent en dehors de l'absolu n'ont aucun point commun, ce sont des [non-sécantes] (^). Par un [point] pris en dehors d'une [droite], on peut lui mener deux I parallèles] et une infinité de [non-sécantes].

On verra de même facilement que la condition d'orthogonalité de deux [droites] se traduit par le fait que les segments représentatifs correspondants sont conjugués par rapport à l'absolu. Elles ont alors certainement un [point] commun. Deux [droites] j non-sécantes] quelconques ont alors une [perpendiculaire commune] (et une seule) qui définit en même temps leur [plus courte distane^e].

La formule fondamtentale de la trigonométrie cayleyenne deviendra :

(i5) ch '-^ = ch ^ ch '-^ — sh ^ sh !-^'cos[A].

On trouvera aussi que r[aire] d'un triangle a pour expression

R'i[;;(A-^-R-hG)],

A, B, C désignant les mesures cayleyennes de ses [angles]. En particulier, un triangle inscrit dans l'absolu, a ses trois [angles] nuls et par suite son [aire] est égale à ;:R-; comme d'autre part on peut évidemment paver l'intérieur de l'absolu avec une infinité de tels triangles, la,| surface J totale de cette région est infinie comme ses [dimensions linéaires].

(') i\ous n'avons pas dcfiiii 1' [angle] de deux [ non-sécanlcsl.

l86 CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GéOMÉTRIQUES ET MÉCANIQUEé.

130. Lien entre l'édifice cayleyen (à absolu réel) et la géométrie» non euclijiienne de Lipbatschewsky. — Lobatschewsky et Bolyai ont édifié une géométrie non ewcliclienne en rejetant seulement le postulatum d'Euclide et en admettant que paf un point on peut mener plus d'une parallèle à une droite; On pourrait ici encore, en en poursuivant le développement (ce que nous ne ferons pas), démontref Tidentité de Tédificc logique ainsi constr'uit avec celui qui vient de faite l'objet des paragraphes précédents.

loi. Le schéma de Poincarê. — En eflectuanl au besoin une transformation homographique, nous pouvons prendre pour absolu (lorsque celui-ci est réel ^ le cercle d'équation

INous pourrions déduire du schéma classique un schéma sphé'-ique en ttlenant en O une sphète S tangente au plan U et de rayon 1* L en projetant à partir de son centre C les points M du schéma en m ei en /«^ sut la sphère; mais ce schéma ne nous serait ici d'aucune utilité puisqu'il serait entièrenient imaginaire. Nous nous en servirons cependant conime intermédiaire pour établir un schéma intéressant dû à Poincarê e* *"n étudier les propriétés*

Les points >n ei iiti étant obtenus par le procédé précédent sur la sphère S, flous en elTectuerons la projection stéréographique sur le plan 11 en prenant comme point de vue le point O' de S diamétralement opposé à O. On obtient ainsi deux points \j. et jjt, ; il est très facile de constater que si l'on pose OM 1=: /• et O [i = o, il y a entre ces deux, longueurs la relation

On on déduit inïmédidtement que les points \i et {jL| sorti réels dès que le point M est intérieur à l'absolu (/'< R) et que les deux Valeurs de p que l'on peut tirer de cette équation sont positives et séparées par le nombre a R. En ne retenant que le point [x qui est le plus proche de O, on établit ainsi Une correspondance biuniyoque entl-e l'intérieur du cercle F et celui du cercle F' de rayon R' = >. R.

A une [droite] de l'édifice cayleyen correspond un ^rand cercle de la sphère S, celui-ci donne à nouveau un cercle dans le schéma de Poincarê* La puissance de O par rapport à ce cercle est O [x. 0 (i-i = 4l^"'> i^ est donc orthogonal au cercle t".

INous obtiendrons ensuite facilement l'expression de la [distance] cayleyenne dans notre nouveau schéma. Soient en effet ?n et lii' deux points

du schéma sphérique et 9 l'angle au centre m Cm', la [distance] des [ points] correspondants de l'édifice est égale, comme nous l'avons vu, à Rïç; or

l'angle - ( sous-lendani le segment mm' dans le grand cercle contenant cc5