CHAPITRE

FORMBS LINEAIRES ET QUADRATIQUES.

ià. Directions principales. Équation en S. — Une direction de paramètres directeurs principaux a^" sera dite principale si elle est perpendiculaire à son plan diamétral conjugué. Les conditions pour qu'il en soit ainsi se traduisent par les équations

. ^ Fa» Fa» Fa" ^c

Celles-ci peuvent être satisfaites de deux façons : il peut se faire qu'il existe des valeurs des a' les vérifiant et n'annulant pas tous les numérateurs; le plan diamétral conjugué de la direction correspondante sera alors bien déterminé et l'on obtiendra une direction principale répondant exactement à la définition; il peut aussi arriver, exceptionnellement, qu'il existe une génératrice multiple du cône asymptote, ses paramètres directeurs annulent alors tous les numérateurs et l'on obtient ainsi une direction singulière qui peut encore être regardée comme principale par suite de l'indétermination de son plan diamétral conjugué. Ce dernier cas correspondra à une valeur nulle de S.

Le système des équations précédentes peut encore s'écrire sous forme abrégée

(lO')

{gik'-^ik^)<^''—o

(e,)fc étant égal à i ou à o suivant que i et k sont égaux ou différents).

Ce système ne peut donner de solutions dans lesquelles les a^ ne soient pas tous nuls (condition essentielle pour que ces nombres déterminent une direction) que si S est une racine de l'équation suivante, dite équation

en S,

A'^ii— S é"ia ••• é'in

CO

êni

gnn

Soient maintenant deux racines distinctes S' et S" de cette équation et OL^ et P^ les paramétres directeurs des directions principales correspondantes (*), nous allons montrer que ces deux directions sont à la fois rectangulaires et conjuguées par rapport à la quadrique.

En effet, les deux directions satisfont aux deux systèmes d'équations

S'a'= -Fi.-,

(') A ciiaque rixiijc de l'é(iuatioH en S il correspond au moins une direction principale; nous rechcrclierons plus loin d^nis (jucl <;as il en correspond plusieurs.

lO CALCUL TENSORIKL. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES ET MÉCANIQUES.

On en tire immédiatement, en formant de deux façons la forme polaire,

S'(aipi-+-...-f-a«P'0= F(a| fs ), S7aip»-f-...-+-a"[3") = F(ai fij,

et; puisque S' est distinct de S", ces équations sont équivalentes aux deuK suivante^

al pi ■+• a'p -f- . . . -h a" |3« = o,

F(alp) = o, qui expriment précisément la proposition énoncée.

IS. Étude de Téquation en S dans le cas des formes quadratiques à coefficients réels. — Nous allons étudier en détail le cas important où la forme quadratique est à coefficients réels et montrer tout d'abord qu'alors Féquation en S a toutes ses racines réelles.

i\ous partirons, pour établir cette importante proposition, d'une identité connue sur les déterminants.

Pour mettre en évidence les ordres, nous appellerons A^i le déterminant défini par l'équation (ii) et nous représenterons par la notation

G/i,l Grt,2 • • • ^n,n

son déterminant adjoint.

L'identité que nous avons en vue est la suivante (')

G«-i,n-i On—i,n

Nous représenterons d'autre part par A„a; le déterminant obtenu en supprimant dans An les k dernières lignes et les k dernières colonnes. En

(') Cette identité, qui est un cas particulier d'une identité plus générale due à Jacobi^ se \érifîe immédiatement en formant, d'après la règle de inulliplication des déterminants, lignes par lignes, le produit

L'identité est ainsi démontrée dans le cas où A,, est dilTércnt de zéro et elle s*étend par continuité au cas où A„ est nul.