CHAPITRE VII. — APERÇUS DE SÉOMÉTRIE CAYLEYBNNC

points) est égal, d'après le théorème de Laguerre, à

--. log(m, m\ J, J),

I et J désignant les points cycliques du plan de ce grand cercle. Ge rapport anharmonique se conserve dans la projection stéréographique (^), les points I et J deviennent les points de rencontre P et Q de la [droite] (jL|jt.^ avec le cercle F' et nous obtenons la [distance] cayleyenne sous la forme

[{Xfx'] = Rlog(Ht, u', P, Q)=^'log({a, fx', P, Q).

Quant [à Tj angle] "cayleyen, sa représentation est immédiate, elle est fournie, sur le schéma de Poincaré comme sur le schéma sphérique, par l'angle euclidien des deux cercles qui correspondent à ses côtés.

En résumé, dans le schéma de Poincaré :

"1" Un [point] est représenté par un point intérieur à F'; une [droite],

par la portion d'un cercle orthogonal à F' intérieure à ce dernier cercle.

R' '2'» La [distance] de deux points a pour valeur — log({jL, jji', P, Q), a et [x'

étant les points représentatifs correspondants et P et Q les points d'intersection du cercle représentatif de la [droite] [i\i' avec F'. 3" Les [angles] gardent leur signification euclidienne.

132. Autre forme du schéma de Poincaré. — Poincaré a fait usage de ce schéma, sous une forme à peine modifiée, dans la théorie des groupes fuchsiens. Transformons le schéma précédent par une inversion dont le pôle soit sur F/; ce cercrc se transformera en une droite que nous prendrons pour nouvel axe Ox, son intérieur se transformera en un demi->plan dans lequel nous placerons la partie positive de Taxe Oy et que nous appellerons le demi-plan supérieur. L'inversion conservant, comme nous l'avons déjà rappelé, le rapport anharmonique de quatre points sur un cercle ainsi que les angles, les définitions données au paragraphe précédent subsistent entièrement pour ce schéma en y substituant Ox à F'.

Un calcul très facile donnera pour l'élément de [longueur] cayleyenne la formule

(16) ds''-= R2 -— -^ ,

et pour réiément d'[aire]

(17) f/j = — -, dxdy.

En particulier, partant de la première de ces deux formes quadratiques,

(') Voir par exemple pour la démonstration de cette propriété de l'inversion : Hadamard, Leçons de géométrie élémentaire, t. II, p. 4oi.

l88 CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES ET MÉCANIQUES.

le lecteur pourra rechercher les [géodésiqucs 1 de l'édifice cayleyen ('), 11 sera conduit à l'équation différentielle

\ clx j '

qui, par deux intégrations successives, donne

Les [^ géodésiques ] de rédifice cayleyen en sont donc aussi les [droites], cofume dans l'édifice euclidien.