CHAPITRE 1. — FORiMES LINEAIRES ET QUADRATIQUES. IJ

tenant compte du fait que le déterminant adjoint est lui-même symétrique, l'identité précédente s'écrit

OU encore, puisque G„,„ n'est évidemment autre que A^-i, (12') G„,,„, X A;^-, — [G„,,„]2= A„x A„î.

Démontrons maintenant par récurrence que l'équation Art(S) = o a toutes ses racines réelles.

Nous considérerons pour cela la suite des équations obtenues en égalant à zéro les déterminants

Ai(S),A2(S), ...,A,,i(5)

et nous ferons l'hypothèse provisoire que deux équations consécutives quelconques de cette suite n'ont pas de racines communes.

Nous allons montrer que si chacune de ces équations a ses racines réelles et séparées par les racines de l'équation immédiatement précédente, Tcquation A;i(S) = o a également toutes ses racines réelles.

En effet, soient ai, 0L2, (x.^, . . ., oi.n-1 les racines de A„| = o, si nous substituons l'une quelconque de ces racines dans l'identité (12'), celle-ci nous montre que A„ et A„2 prennent des valeurs de signes opposés. Si nous remarquons de plus que le terme de plus haut degré de Téquation de rang /c est ( — i)*S*^, nous pouvons dresser le tableau suivant qui met immédiatement en évidence la proposition énoncée.

Valeurs de substitution — 00 ai a.^ ccz ... a„i -4-00

Signes de A,i 2 -h H h ... ( — i)«-' (— 0""'

Signes de A„ -h i ... ( — i)"-* (— i)»

Place des racines de Art = 0(2 ). f f f ... f

(•) De l'identité ( 12) on peut tirer différentes propriétés des déterminants symétriques à coefficients réels qui nous seront utiles par la suite.

Si A„ est nul et si G„, ^i et G„ ,^ ne le sont pas. ces deux derniers déterminants sont nécessairement de même signe. Gomme on peut toujours, par des permutations, amener deux; lignes et deux colonnes de même rang à être les deux dernières lignes et les deux dernières colonnes de A„. nous pouvons donc dire que, dans un déterminant symétrique nul, les mineurs médians d'ordre n — i non nuls (s'il en existe) sont tous de mcnie signe.

Cette propriété se généralise immédiatement : si un déterminant symétrique est tel que tous ses mineurs médians d^un certain ordre soient nuls, ceux des mineurs médians d'ordre immédiatement inférieur qui ne sont pas nuls (s'il en existe) sont tous de même signe.

Enfin, l'identité (12) nous montre encore que si A„ est nul ainsi que tous ses mineurs médians d'ordre n — i, il en est de même de tous Ifes mineurs non médians de cet ordre. Nous retrouvons ainsi une proposition déjà rencontrée {voir p. 9, note i ).

(-) Il pourra exceptionnellement arriver que «p par exemple, soit racine

l8 CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES BT MÉCANIQUES.

Les conditions que nous avons prises comme hypothèses sont évidemment réalisées par les équations Ai =.0 et Aj = o (tout au moins si ^u 7^0); nous pourrons donc, partant de cette base, affirmer de proche en proche quejes équations suivantes ont aussi toutes leurs racines réelles.

Il nous rest« maintenant à nous débarrasser de l'hypothèse provisoire faite au début du raisonnement et à montrer que la conclusion subsiste même si l'on rencontre dans la suite deux équations consécutives ayant des racines communes (i).

Cette hypothèse restrictive correspond du reste au cas le plus général; deux équations consécutives de la suite n'auront en effet de racines communes que s'il existe entre les coefficients ^,A:cerlaines relations algébriques. Si les coefficients sont quelconques, ces relations ne seront pas satisfaites et nous pourrons par suite affirmer la réalité de toutes les racines de l'équation A» = o. Mais, d'autre part, ces racines sont des fonctions continues des coefficients ^ij^; si l'on modifie ces derniers et que, par suite du hasard de leurs variations, certaines des relations algébriques en question viennent k se trouver vérifiées, les racines ne pourront avoir que des limites réelles, tout au plus plusieurs pourront-elles tendre à se confondre. Le théorème énoncé est donc vrai en toute généralité, seulement l'équation A,^ = o peut avoii' des racines multiples.

Nous allons du reste préciser dans quelles conditions ce dernier cas se présente.

Conditions pour que Véquatiori en S admette une racine multiple d'ordre p. — On constate facilement que la dérivée d'ordre p de la fonction A (S) peut s'écnre

en représentant par Sp la somme de tous les mineurs médians d^ordre n — p du déterminant A(S).

La condition nécessaire et suffisante pour qu'un nombre S' soit racine multiple d'ordre/? de l'équation en S se traduit alors, d'après la remarque que nous avons faite plus haut sur les signes des mineurs médians, par le fait qu'tV est nécessaire et suffisant que ce nombre annule le déterminant A( S) ainsi que tous ses mineurs médians jusqu'à l'ordre n — /? -f- 1 et qu'il n'' annule pas tous les mineurs médians d'ordre n — p.

Mises sous cette forme, ces conditions ne sont du reste pas indépendantes, elles reviennent (d'après les remarques des pages 9 et 17)3 dire que le déterminant A (S') a pour rang le nombre n — p el nous avons vu

qu'il suffisait, pour qu'il en soit ainsi, d'écrire la nullité de ^—i- 1 mi-

neurs convenablement choisis parmi les mineurs d'oi^re n — /? -=1- i.

de A„ = o: il sera alors racine simple ou racine doul)lc ; mais, comme on s'en coDvaiDcra en suivant les variations de la fonction A„(S), l'équation A„= 0 aura encore toutes ses racines réelles.

(') Ce fait se produit dès le départ si gy^ = 0.