CHAPITRE II. — CALCUL TENSORIEL

27. Inversion des formules précédentes. — En échangeant les rôles des variables x'- et x^ les formules (3) et (4) s'écrivent aussi bien sous la forme

(3') Ar = ^PÂp,

(4') A'-=^JÂP.

Pour nous familiariser avec le mécanisme du calcul tensoriel, donnons la démonstration directe de la formule (3'). Partons de la formule (3)

Ar = £Ç:Ap;

multiplions les deux membres par x'^ et faisons la sommation implicitement contenue dans le fait que r devient indice muet, nous aurons successivement

a7;"A;.= ^?a7;Ap= 8PAp= A^, ce qui n'est autre que la formule (3') (M-

28. Systèmes tensoriels du second ordre. — Partons par exemple de deux systèmes covariants du premier ordre, B, et Gr, formons les n^ fonctions A^^=B^C^ et cherchons leur loi de transformation quand on change de variables.

trois vecteurs de base (ou vecteurs unités) (Ui), (U,), (U3), arbitrairement choisis, mais non situés dans un même plan. On décompose ensuite, suivant leurs lignes d'action, le vecteur (V) en trois vecteurs (Vj), (V.^), (V'3),. f-es coordonnées du venteur (V) seront alors les trois modules x\ ^-, x^ des liomothéties qu'il faudrait faire subir respectivement aux vecteurs unités (U). (Uj), (U3) pour obtenir les vecteurs (Vi), (V^j)» (^:!)- Si l'on change les vecteurs de base, en les remplaçant par trois autres (U,),

(U,), (O3), liés aux premiers par les relations vectorielles

(ÎI,)=Af(L\).

on voit de suite que les nouvelles coordonnées de (V) seront reliées aux anciennes par les formules

Ces coordonnées se transforment donc en sens contraire des vecteurs de base, d'où le nom qui leur a été donné de variables contrevariantes.

(') On se familiarise vite avec l'emploi des formules (3) et (4), (3 ) et (4'): pour faciliter l'effort de mcmoipt, il suffit de se l'appeler que le système des différentielles clx' est contr^variant. C'est précisément pour celte raison que nous avons affecté les variabUs d'un indice supérieur.

3o CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES ET MÉCANIQUES.

Celte loi est évidente; on a en ellet

d'où c'est-à-dire

Tout système de n- fonctions se transformant suivant cette loi sera dit constituer un système iensoriel covariant du second ordre.

En partant de deux systèmes contrevariants du premier ordre, nous définiroiis de même les systèmes tensoriels contrevariants du second ordre ^ ensembles de /i^ fonctions A'"^ obéissant à la loi de transformation

Enfin, en partant de deux systèmes du premier ordre, l'un côvariant, l'autre contrevariant, nous définirons des systèmes tensoriels mixtes du second ordre avec la loi de transformation

A;:^ = £px^Ap'' (').

En résumé, les formules de transformation des systèmes tensoriels du second ordre seront données par le tableau suivant :

Ar5= arPa^^Ap^x (systèmes covarianls), (5) \ A''^= x'pXîlykP^ (syst«:mes contrevarianis),

A;/ = ;rPa7j^ Ap (systèmes mixtes).

29. Généralisation définitive. — Il est évident qu'un procédé analogue permettra de définir des systèmes d'un ordre quelconque. Il suffira d'en donner un exemple. Un ensemble de ?i''^ fonctions sera dit former un système tensoriel du troisième ordre^ côvariant par mpport aux indices r et t^ contrevariant par

(') Il y aura lieu en général par la suite de prêter la plus grande attention à l'ordre des indices; pour le mettre en évidence, dans le cas des systèmes mixtes, nous metta'ons en face de chaque indice un point destiné à marquer sa place dans la rangée où il ne figure pas.