Multiplication. — Etant donnés deux systèmes de types et

(') Il suffit de surligner les fonctions qui ne l€ sont pas, d'effacer le irait de celles qui le sont et de changer la place du trait dans chaque dérivée partielle. Le calcul direct en ost du reste immédiat.

32 CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GÉOiMÉTRIQUES ET MÉCANIQUES.

d'ordres quelconques^ si l'on multiplie de toutes les façons possibles les composantes de l'un par celles de l'autre, on obtient encore un nouveau système dont l'ordre est égal à la somme des ordres des précédents et qui est dit leur produit extérieur (♦).

Cette multiplication est commutative, associative et distributive par rapport à l'addition (^).

33. Contraction. — Considérons un système mixte du deuxième ordre, A;*; il se transforme d'après la loi

Faisons dans cette formule s = /', ce qui entraîne la sommation par rapport à r devenu indice muet, nous aurons

Â/ = £PÏ'^Ap^= ôP Ap'^^ ApP= A;^

Conclusion. — A^? est un invariant. Cette opération qui permet de passer d'un système mixte du second ordre à un invariant porte le nom de contraction.

Extension à des systèmes d^ ordre plus élevé. — Si nous appliquons la même méthode à un système mixte quelconque, A„*'^^par exemple, en y égalant les indices s ei t qui deviennent alors indices muets, on voit de suite que A * ''\ se transforme comme un système du type B„^' d'ordre inférieur de deux unités au système donné.

Remarque. — Lorsque le système est d'un ordre supérieur au deuxième,, on peut en général en tirer des systèmes contractés différents suivant les indices que l'on convient d'égaler.

(') Il est inutile de donner la démonstration de cette proposition, puisque c'est de ce procédé même que nous sommes -partis pour former des systèmes d'ordre de plus en plus élevé.

(^) Il y a cependant lieu de remarquer que, si la multiplication est commutative en ce sens que les deux facteui;s jouent le même rôle, il est bon de faire attention aux notations. Pour un produit de deux systèmes du premier ordre, par exemple, il conviendra de représenter par des lettres dilTérenles les deux systèmes produits

Krs^^r.Cs et a;.^=C,.B^.

Ces deux systèmes ont bien les mêmes composantes, mais elles ne sont pas écrites dans le même ordre.