CHAPITRE II. — CALCUL TENSORIBL. Î

34-. Multiplication mixte et multiplication intérieure. — Étant donnés deux systèmes tensoriels, on peut faire suivre leur multiplication extérieure d'une contraction plus ou moins répétée appliquée à des indices appartenant à l'un et à l'autre des systèmes. On obtient ainsi la multiplication mixte.

En particulier, ce procédé, appliqué à deux systèmes du premier ordre de types différents, donne naissance à l'invariant A, B'' qui porte le nom de produit intérieur des deux systèmes et qui est l'analogue du produit scalaire du calcul vectoriel (').

35. Procédés permettant de déceler le caractère tensoriel d'un système. — Lorsqu'un système de fonctions s'introduit dans un problème, on peut quelquefois reconnaître son caractère tensoriel en vérifiant s'il obéit aux lois de transformation des systèmes tensoriels ou encore s'il n'est pas composé par addition, multiplication ou contraction à l'aide de systèmes tensoriels plus simples. Mais il existe aussi un troisième procédé courant très important.

Soit un système de fonctions dépendant par exemple de trois indices [auxquels à dessein nous n^assignons pas de places) A(/*, .ç, t) et supposons que le produit contracté A(r, 5, t) Çr"1.yC' soit un invariant^ quels que soient les systèmes tensoriels ?, , Ov, C'j on pourra affirmer que le système A(r, 5, t) constitue un système tensoriel contrevariant par rapport aux indices r et 5, coKariant par rapport à V indice t.

En effet, la propriété d'invariance mentionnée dans l'énoncé s'exprime par l'égalité

ou encore d'après (3) et (4)

A(r, s, t}'^rrisV= A(p, (T, t) ^^jp-^£]F,.-f],,Ç', c'est-à-dire

[A(r, 5, 0 — A(p, (T, x)a7j^*£y] Ç,.ri^!;'=r o.

(M La différentielle totale r~ dx' d'un invariant/ est un exemple simple de

multiplication intérieure et la propriété d'invariance de ce produit contracte est bien connue.

APPrLL. — V. 3

Nous avons dans le premier membre une forme trilinéaire des variables fr, '^ij, Ç' qui doit être identiquement nulle, il s'ensuit qu'on aura, quelles que soient les valeurs des indices r, 5, t,

A(r, s, 0 = ^pâ^if^yA(p, ff, X), ce qui démontre le théorème énoncé (').

Corollaire. — Le lecteur démontrera sans peine, en se basant sur la proposition précédente, le corollaire suivant :

Si le système de fonctions X{r^ 5, t) est tel que le produit contracté A(/-, 5, ^) B,.^ forme un système tensoriel covariant du premier ordre^ quel que soit le système tensoriel B^.», on pourra affirmer que le système A{ry 5, /) constitue un système tensoriel conlrevariant par rapport aux indices r et 5, covariant par rapport à l'indice t (2).

36. Conséquence : Modiôcation de la définition des systèmes tensoriels. — Les propriétés précédentes peuvent servir de définition pour les systèmes généraux; c'est le point de vue adopté en particulier par H. Wejl ( Temps^ Espace, Matière, édition française, p. 27).

H. Wejl introduit plusieurs séries de variables dont les unes à indices inférieurs se transforment par çovariance, les autres à indices supérieurs se transforment par contrevariance.

Ceci posé, se donner par exemple un système tensoriel du troisième ordre, contrevariant par rapport aux indices r et 5, covariant par rapport à l'indice t, c'est se donner une forme trilinéaire

.(') La démonstration précédente suppose essentiellement que les systèmes Je composantes respectives ^^, t,,, Ç' sont quelconques. Par exemple le fait :fue A(r, s)^''^' est un invariant quel que soit le seul système de composantes %'' entraîne seulement la conséquence que les quantités A(/*, s) 4- A (5, r) forment un système tensoriel covariant du second ordre. On n'en déduira une conséquence certaine sur les A(r, s) elles-mêmes que dans des cas particuliers, par exemple si \{r, s ) = A {s, r), ou bien encore si l'on a pu démontrer directement, comme nous en verrons plus tard une application, que les quantités A ( r, s) — A (.s, r) forment elles aussi un système tensoriel covariant du second ordre.

(^) Il est à peine besoin de faire remarquer que les propriétés données cidessus sur des cas particuliers pour la commodité de l'écriture et de l'expression sont absolument générales.