CHAPITRE II. — CALCUL TENSOHIEL

par rapport à trois séries de variables

qui reste identiquement invariante dans toute transformation des variables de base.

Les coefficients de la forme sont alors les composantes^ du système.

37. Systèmes tensoriels spéciaux. — Les sy/stèmes que Ton rencontre en mécanique ou en physique possèdent en général d'importantes propriétés de symétrie.

r* Systèmes symétriques. — On dit qu'un système contrevariant ou covariant est symétrique si, en échangeant les valeurs de deux indices quelconques, on retombe sur une composante du même système égale à la première.

Par exemple, pour un système covariant du deuxième ordre, cette propriété se traduira par l'égalité

^rs ^^ ^^ Sri

qui devra avoir lieu quelles que soient les valeurs des indices r et s,

2° Systèmes symétriques gauches {ou antisymétriques). — On dit qu'un système contrevariant ou covariant est symétrique gauche si, en échangeant les valeurs de deux indices quelconques, on retombe sur une composante du même système opposée à la première.

Dans le cas d'une multiplicité à trois dimensions par exemple, un système antisymétrique du second ordre n'a que trois composantes distinctes non nulles, car on a

An = A22= A:;3=o, A.,.> = — A21, A23 = — A32J A^ =1^ — A^;

un système antisymélrique du troisième ordre a ses composantes soit nulles soit égales entre elles en valeur absolue et il n'existe pas de système antisymélrique d'ordre supérieur à trois.

Le lecteur vérifiera sans peine que ces propriétés de symétrie droite ou gauche se conservent par un changement de variables.

Nous rencontrerons plus tard, pour des systèmes tensoriels d'ordre supérieur à 2, des cas plus complexes où la symétrie droite ou gauche n'a lieu que pour certains groupes d'indices.