III. — FORME QUADRATIQUE FONDAMENTALE

38. Définition. — ■ Dans les questions géométriques ou physiques que nous étudierons par la suite, nous introduirons une forme quadratique des différentielles des variables

gikdx''dx^,

que nous appellerons la forme quadratique fondamentale.

Les gih sont des fonctions (continues et dérivables) des coordonnées x^ et la valeur de la forme quadratique fondamentale sera dite le carré de la distance séparant les deux points de coordonnées x^ et x^-\-dx^^ sans qu'il faille voir, jusqu'à nouvel avis, autre chose dans cette appellation de distance qu'un langage géométrique conventionnel commode.

Toute multiplicité dans laquelle on aura ainsi défini la distance de deux points voisins sera dite un espace.

Par définition même, la forme fondamentale sera supposée donnée dans un système de variables déterminé et sera transformée par invariance si Von veut Vavoir dans un autre système.

Nous supposerons du reste essentiellement, ce que nous avons montré être toujours possible dans le Chapitre I, que ses coefficients satisfont à la loi de symétrie

gik^ gki-

39. Systèmes tensoriels fondamentaux du second ordre. — D'après le théorème du n" 35 et la remarque qui l'accompagne en noie, les fonctions gik forment un système tensoriel covariant du second ordre.

D'autre part, avec les n"^ composantes gi^^ on peut former un déterminant o —Il ^,A II qu'on appelle le discriminant de la forme quadratique fondamentale. Nous supposerons ce discriminant essentiellement différent de zéro; cette condition est, comme il est bien connu, celle qui est nécessaire et suffisante pour que la forme puisse se décomposer en une somme algébrique de carrés de n formes linéaires ihdépendantes (').

(') La forme quadratique est alors dite non dégénérée {voir Ctiapitre I).