CHAPITRE II. — CALCUL TENSORÎEL

Nous avons montré, au n** i 1, que, dans un changement de variables {x^y X'^)j le discriminant se trouve multiplié par le carré du déterminant fonctionnel delà transformation; si donc il est différent de zéro dans un système de variables, il Test aussi dans tous les autres.

Ceci posé, étant donne un système contrevariant quelconque du premier ordre A% formons le produit contracté

et résolvons les équations ainsi obtenues par rapport aux composantes A* ; on aura des relations de la forme

dans lesquelles les coefficients g'^^ seront les mineurs normalisés du discriminant g (^).

De là il résulte (toujours par application du même théorème) que les quantités ^'* sont les composantes d'un système contrevariant du second ordre qui est évidemment également symétrique.

Enfin par multiplication contractée, nous en tirerons le système mixte

et les relations fondamentales des déterminants démontrent de suite qu^on a

4 o si i ^ A, / I si i = A

Les trois systèmes ainsi définis ^/a, ^^S ^a fomient le groupe des systèmes tensoriels fondamentaux du second ordre (^).