Systèines associés. Tenseurs. — Deux systèmes du premier

(*) C'est-à-dire tels que l'on ait

( — lY^^ ^'4—:: L — X mineur relatif à ^,t

(^) 11 n'y a pas lieu ici de préciser davantage la place des indices i et k dans le premier membre à cause de la symétrie des systèmes du second membre.

(') Lé système mixte g)^'}on\X. de la propriété remarquable d'avoir les mêmes composantes dans tous les systèmes de coordonnées; on l'appelle quelque ois !<' système unitaire.

38 CALCl'L TEXSORIEL. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES ET MÉCANIQUES.

ordre A' et Xi de types différents, tels que ceux que nous avons introduits plus haut, liés par les relations

ou par les relations équivalentes

sont dits des systèmes associés ou encore des systèmes r-éciproques.

Si deux systèmes sont égaux, leurs associés sont évidemment égaux. Si l'on forme le produit contracté A^B'*, l'invariant obtenu est le même que si l'on avait opéré avec les réciproques (JU^'iibr. Enfin remarquons que, dans le cas particulier important où la forme quadratique fondamentale se réduit à la somme des carrés des différentielles des variables, deux systèmes associés ont les mêmes composantes.

Ces différentes raisons (qui se préciseront plus tard sur les exemples) nous conduiront à regarder deux systèmes associés comme représentant un seul et même être géométrique ayant ainsi à la fois des composantes covariantes et des composantes contrevariantes, être auquel nous donnerons le nom de tenseur.

On représentera alors ces composantes par la même lettre avec une place différente pour l'indice et les formules données plus haut deviendront

Quant au tenseur lui-même, npus emploierons pour le représenter la notation (A).

On concrétise les relations (7) en disant que la première réalise rabaissement de Vindice^ la deuxième V élé{>ation de Vihdice.

Si l'on avait opéré de même en remplaçant les systèmes covariant et contrevariant fondamentaux par le système fondamental

mixte, on aurait eu