CHAPITRE II. — CALCUL TENSORIEL. Sg

Généralisation. — Les règles précédentes d'abaissement et d'élévation d'indices s'appliquent tout aussi bien à des systèmes d'ordre supérieur. On aura par exemple

Naturellement, en général il faut tenir compte de celui des deux indices dont on change la place et par exemple le système

sera différent du précédent. Ces deux systèmes mixtes seront cependant identiques si A//f= A;i/, c'est-à-dire si le système donné est symétrique et il n'y aura alors aucun inconvénient à employer pour les désigner la notation plus simple A^-.

On vérifie aussi immédiatemenl que la succession des deux opérations d'abaissement et d'élévation portant sur un même indice redonne le système primitif.

Ici encore (et de même dans des cas plus généraux) nous parlerons du tenseur du second ordre (A) ayant pour composantes de différents types les systèmes tensoriels A,>, A"^, A'^. En particulier, les trois systèmes tensoriels fondamentaux gi^^^ g^-, g'^ définissent le tenseur fondamental du second ordre (G) que l'on appelle encore souvent le tenseur métrique.

Remarque. — Etant donné un tenseur quelconque (d'ordre au moins égal à 2), on pourra toujours, en appliquant l'opération de la contraction à ses composantes mixtes, en déduire un nouveau tenseur d'ordre inférieur de deux unités au premier. En particulier, de tout tenseur d'ordre pair, on pourra déduire par application repétée de ce procédé un invariant (ou tenseur d'ordre zéro) qui sera dit la trace du tenseur primitif. Cette trace n'est du reste unique que pour les tenseurs symétriques (♦).

41. Règles du « jeu des indices ». — On peut encore énoncer les deux règles suivantes d'application usuelle :

1° Dans tout monôme tensoriel où se trouve un indice muet, on peut élever cet indice à partir de sa position inférieure en l'abaissant en même temps à partir de sa position supérieure.

(') Par exemple la trace du tenseur fondamental (G) n'est autre chose que le nombre n des dimensions de l'espace considéré.

4o CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES ET MÉCANIQUES.

Par exemple, le monôme A^^B^ s'écrira successivemenl ArvB;.=- ^•P^raAp,B^= ^P Ap,B<^= Ap,BP= A^.B''.

2" Si dans tous les ternies d'une équation tensorielle figure un même indice non muet, on a une équation équivalente en élevant ou en abaissant cet indice dans toutes les positions qu'il occupe ( ' ).

Par exemple les équations

sont équivalentes aux combinaisons qu'on en tire

AVpAPf = ^'^.pBP.C/, donc à