IV. - LIGNES GÉODÉSIQUES

42. Définition et équations différentielles des géodésiques. — Nous poursuivrons plus loin l'étude géométrique des espaces que nous venons de définir; nous anticiperons cependant sur elle en introduisant dès maintenant la notion importante de ligne géodésique.

Si nous supposons que les variables x'^ sont des fonctions d'un paramètre t, le point qu'elles définissent est mobile et décrit une courbe. En particulier, l'ensemble de tous les points pour lesquels le paramètre est compris entre deux limites fixes t^ et t^ formera un arc de la courbe, arc dont la longueur sera donnée conventionnellement par la valeur de l'intégrale définie

(') Il est à remarquer que notre convention de sommation des indices muets est l'analogue do la règle de contraction; il s'ensuit que tout indice muet doit bien occuper dans tout monôme une fois la position haute et une fois la position basse. De même les indices non muets doivent être en même nombre dans tous les monômes d'une équation, y être représentés par les mêmes lettres et y occuper les mêmes places. Ces remarques doivent être regardées comme des compléments aux lois bien connues de l'homogénéité des formules physiques, elles subsistent tant que la généralité des formules n'a pas été détruite par un choix particulier du système de coordonnées.