CHAPITRE II. — CALCUL TEN80RIEL. 4l

Cet arc sera susceptible d'être orienté et, par suite, nous pourrons définir sa longueur en grandeur et en signe (').

Parmi les courbes de l'espace reliant deux points fixes Pq et P|, nous donnerons le nom de géodcsiques à celles dont la longueur est maximum ou minimum par rapport à celle des courbes voisines. La définition que nous donnons ainsi estévidemment indépendante du système de coordonnées, puisque la notion de longueur en est elle-même indépendante.

Pour déterminer ces courbes, s'il en existe, nous emploierons une méthode classique du calcul des variations (=J).

Soit L une telle courbe; nous prendrons comme paramètre pour fixer la position d'un point sur elle l'arc s compté à partir d'une certaine origine, le sens positif étant celui de Pq à P| ; soient de plus Sq et 5j les abscisses curvilignes de ces deux derniers points.

Déformons un peu cette courbe en lui conservant les mêmes extrémités. Pour cela, Jonnons-nous un ensemble de n fonctions continues arbitraires 5' {s)^ s'annulanl aux limites Sq et 5^, et désignons par £ une quantité infiniment petite indépendante de s) le point Q de coordonnées x^ -\- tzf décrira, s variant de Sq à 5,, une courbe L, très voisine de L.

Représentons pour un moment par des lettres accentuées les dérivées par rapport à s et posons

^{x, x') = giiçx'ix'^.

La fonction ^ est identiquement égale à i tout le long de la courbe L et elle prend sur la courbe L| la valeur

<Pix H- ef, x' -^ eÇ').

Ceci posé, la longueur / de L est évidemment s^ — Sq et celle

(') Le choix de la détermination de 6- ne présentera aucune difficulté si la forme quadratique fondamentale est définie. Si, au contraire, elle n'est pas déHnie, il sera bon de ne considérer que des arcs de courbe restan* dans une région de l'espace où elle conserve un signe constant.

Nous supposerons aussi, comme on le fait en géométrie analytique ordinaire qu'à chaque valeur du paramètre entre t^ et t^ correspond un point unique de l'arc et réciproquement, autrement dit que la représentation paramétrique est propre.

(^) Cf. t. I, 4' édition, p. 2i3.

de L4 est donnée par l'iulégrale

Développons <î> suivant les puissances croissantes de e, nous aurons

et par suite

H et K restant finies quand e tend vers zéro.

Ceci met immédiatement la différence /, — / sous la forme

l'^ —T-ds et en

tenant compte du fait que les fonctions ^' s'annulent aux extrémités de l'intervalle d'intégration,

Pour que L soit une géodésique, il faut que cette différence garde un signe constant, quelles que soient les fonctions ^' et quel que soit e pourvu qu'il soit suffisamment petit. Ceci ne peut avoir lieu que si le coefficient du terme en e est nul, ce qui entraîne les conditions

^9) ;rcbv-J-H:w=« (^)-

Ces conditions sont évidemment nécessaires; il faudrait les compléter par l'étude du premier terme non nul du développement. Si ce terme correspond à une puissance paire de e et si Ton peut s'assurer que son coefficient garde le même signe quelles que soient les fonctions ^'^ on a bien un maximum ou un minimum relatif. Si ces circonstances ne se présentent pas, nous conviendrons de

(*) En effet, si les conditions n'étaient pas remplies, il soffirait de prendre des fonctions ^' qui soient toujours de même signe que leurs premiers membre^ pour être sûr que le coeflicient de e soit différent de zéro.