CHAPITRE II. — CALCUL TENSORIEt

ce qui est bien le résultat que l'on aurait trouvé si Ton avait dérivé le système, d'abord contracté, A'^^.

Conséquence immédiate. — La dérivée co variante d'un produit mi^xte s'obtient encore par la même règle que la dérivée ordinaire d'un produit.

Théorème d« Ricci. ■ — Les dérivées covariantes des systèmes fondamentaux du second ordre sont nulles,

I* Prenons d'abord le système covariant^/;t, on aura

dgik \i u\ \k u\

ou encore

et le second membre est identiquement nul en vertu de la formule (i4)-

2® Il en sera encore de même pour le système fondamental mixte g^- car, dans le développement de l'expression ^ug^l-, la dérivée partielle sera nulle (puisque dans tout système de variables les composantes du système mixte sont des constantes) et les deux termes suivants, ne différant que jpar des noms d'indices muets, se détruiront.

3® Prenons maintenant le système contrevariant ^•'*, il est relié aux précédents par la relation

prenons la dérivée coyariante des deux membres de cette équation, nous aurons en vertu des théorèmes qui viennent d'être démontrés

Or, puisque le déterminant ||^a/|| est différent de zéro, ceci entraîne

Remarque, — Si l'on explicite cette dernière relation on obtient l'identité qui peut être utile

âgik \ X é^ . . \ X u] .,

54 CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GÉOHÉTaïQUBS ET IféCANIQUEt»-

Conséquence immédiate : L'abaissement^ l^élévation ei la substitution d'indices sont des opérations permutables avec La dérivation covariante.

48. Dérivation contre variante. - L'opération de l'élévation, appliquée à l'indice de dérivation, nous conduira à de nouveaux systèmes dérivés

(•11) A'^" (système quelconque) = ^^^ Ax(rnême système)

dont les composantes seront dites les dérivées partielles contrevariantes des fonctions constituant le système primitif.

Les propriétés que nous avons démontrées précédemment, ainsi que le théorème de Ricci (^), s'étendent immédiatement à la dérivation contrevariante. Il y a cependant lieu de faire remarquer que la dérivée contrevariante ne se réduira à la dérivée ordinaire que si les g/(i sont non seulement des constantes, mais ont les valeurs

particulières

\ o si i 9^ k, «■'■* = I I si i=k.

Cette particularité se présente même si l'on applique cette remarque au cas d'un invariant.

49. Dérivation tensorielle. — L'étude précédente nous montre que les systèmes dérivés, covariants ou contre variants, sont au fond des systèmes tensoriels ordinaires sur lesquels on peut effectuer toutes les opérations définies au début de ce Chapitre relativement au jeu des indices. Nous pourrons alors regarder le système dérivé comme constituant les composantes d'un tenseur qui s'appellera le dérivé tensoriel du tenseur défini par le système soumis à la dérivation.

Par exemple, le tenseur du premier prdre (A) qui a des composantes covariantes A^ et des composantes contrevariantes A'" aura

(') Le théorème de Ricci revient à dire que les systèmes tondameataux du second ordre sont stationnaires dans tout l'espace; ils jouent relativement à la dérivation covariante le même rôle que des constantes par rapport à la dérivation ordinaire.