A-II = I

Conséquence. — Dans un sysième de coordonnées cartésiennes rectangulaires, des systèmes associés ont des composantes identiques. On a en effet, par exemple,

A,. = ^~wTv' = A '■ ; autrement dit. il n'y a pas lieu dcms ce cas de foire Ac distinction

CHAFITKE 111. — ESPACES ELCLIDIKNS A TROIS DIMENSIONS. "3

entre les composantes co variantes et contrevariantes d'un même tenseur.

Introduisons maintenant un second système de coordonnées x\ reliées aux précédentes par des relations arbitraires

soumises aux seules restrictions de continuité et d'existence des dérivées déjà mentionnées et telles que de plus le déterminant

fonctionnel || Xf. || soit différent de zéro.

Ces nouvelles variables seront dites former un système de coordonnées curvilignes pour l'espace à trois dimensions.

Dans ce nouveau système, le ds- aura une forme analogue gikdx'- dx^ et l'on calcule de suite les valeurs des composantes du tenseur fondamental d'après leurs valeurs simples dans le système cartésien

et naturellement

gl =

57. Courbes et surfaces de coordonnées, mules de transformation

Reprenons les for-

donnons aux x^ des valeurs numériqutîs qui déterminent un point M et supposons qu'à partir de ce système de valeurs nous fassions varier x^ (x- et x-^ restant fixes), le point M décrira une courbe qu'on appellera la courbe x* =z variable; on définira de même les courbes x^=^ variable et x'^^= variable issues du point M.

A partir du même système de valeurs numériques, faisons

(') Nous appliquons ici encore noire convention de sommation bien qup l'indice muet p n'occupe pas comme d'iiabitude une fois la position haute et une fois la position basse. Cette exception à la règle générale tient au fait que le

système des coordonnées x' est très particulier.

maintenant varier j;- et x^ simultanément (./ ' restant fixe), nous obtiendrons ainsi une surface qui contiendra évidemment les d^ux courbes x-=. variable et x"^ --:= variable issues du point M; nous l'appellerons la surface x^ = constante. On définira de même les surfaces x- = constante et x^ = constante passant par M. Ces courbes et ces surfaces que l'on peut ainsi attacher à tout point de l'espace sont dites les courbes et les surfaces de coordonnées.

Remarque. — La condition \\X\\[ -^ o exprime évidemment que les tangentes en M aux courbes de coordonnées qui j passent forment un véritable trièdre dont les faces seront les plans tangents aux surfaces de coordonnées.

Nous orienterons les arêtes de ce trièdre dans un sens arbitraire (par exemple en supposant qu'on prenne sur la courbe x^ ■= variable le sens des x\ croissants comme sens d'orientation) et nous obtiendrons ainsi trois axes T*, T-, T^, issus de M. Nous orienterons de même les normales en M aux surfaces de

coordonnées (par exemple dans un sens tel que l'angle T'N' soit aigu) et nous obtiendrons un nouveau trièdre N', N^, N\ supplémentaire du premier.

Le calcul des cosinus directeurs des tangentes se fait de suite, car on a

cosA^Ti cosA'Ti cosA^Ti

^{x\)'+{.T])'^{iiiy vVm

[d'après la formule (i)], ce qui donne

cosA'T-^= 1 {sans sommation).

De même, les cosinus directeurs de la normale N* devront satisfaire aux conditions d'orthogonalité

^|cos A»IN' -h x\ cosA^Ni-h x\ ces A^N^ = o, ^^cosA^Ni -+-^jcosA*Ni-4-^i| cosA»Ni=ro,