CHAPITRE m. — ESPACES EUCLIDIENS A TROIS DIMENSIONS

qui, résolues, donneront (')

cosA'N' A2N1 oosA-^Ni j = ces -— =

c'esL-à-dire

(3) cosA']N*= -^Eirr (sans sommation) (2).

Des formules (2) et (3), on tire de suite les valeurs des cosinus des angles de deux tangentes ou de deux normales; on trouve ainsi, en se servant aussi des formules (i),

(4) cosT/'T'/= ^ii^^^

> {sans sommation).

^--^^^^^ £rpq

(\') cosN/^N7= ^

58. Relation entre les tenseurs du premier ordre et les vecteurs de l'algèbre vectorielle ordinaire. — Donnons-nous maintenant un vecteur quelconque (MV) ayant son origine au point M. Il aura par rapport aux axes cartésiens des composantes, au sens habituel du mot, que nous pourrons regarder indifféremment comme les composantes contrevariantes ou covariantes d'un tenseur du premier ordre. Nous les appellerons $« , ^o? ^3 ou ^^, Ç-, |' sans prêter attention à la place des indices.

Dans le système des coordonnées curvilignes, ce même tenseur du premier ordre aura des composantes contrevariantes et covariantes, données par les règles de transformation des systèmes tensoriels; mais cette fois les composantes de types différents ne seront pas identiques.

A tout tenseur du premier ordre correspond donc ainsi^ de façon univoque, un vecteur : nous allons chercher maintenant la signification géométrique des composantes de ce tenseur.

(•) Par suite des relations x'^x]. = o et x'^x]- = o [form. (2), Chap. II]. (') Le signe de ce dernier radical est convenablement choisi, puisqu'on aura alors cosN'«T*= -==rr quantité positive.

76 CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GEOMETRIQUES ET MECANIQUES.

Appelons, pour simplifier récriture :

.' Prr la mesure algébrique de la projection orthogonale du vecteur (MV) sur la tangente T'",

P^r la mesure olgébiique de la projection orthoî(onale du vecteur (JMV) sur la noimale N'',

Ct'- la mesure algébrique de la composante suivant T' du vecteur (MV) décomposé suivant les trois tangentes,

Cni la mesure algébrique de la composante suivant N'' du vec- \ teur (MV) décomposé suivant les trois normales.

Une application immédiate du théorème des projections donne les relations

Pr'= VÇiCosA.'T'' Pn.= ^^*cosA»'N'-

(pas de sommation en r),

ç,-= > Cn- cosA'N'=> —=^'

D'autre part, on a, d'après les lois de transformation des systèmes tensoriels,

l- = ^liK et ï' = ^^'-^'r,

^'•=^ëf:- et ç~=2^,^f.

d'où, par comparaison avec les formules précédentes (•). (6) i

^ (sans sommation).

I PN'-=--lr=, G.Nr= ^/^rr^çr

Le lecteur reconnaîtra sans peine que les indices des quantités surlignées, dont la place était sans importance, n'ont pas été mis an iiasard et qu'on s'est arrangé au contraire pour faciliter la comparaison en (jucstion.