CHAPITRE in. — ESPACES 'EUCLIDIENS A TRO'S DIMENSIONS
Ces formules résolvent le problème et nous donnent ainsi une double interprétation géométrique des composantes covariantes ou contrevariantes en coordonnées générales; il faudra donc bien se garder de confondre ces composantes d'un tenseur du premier ordre avec ce que l'on appelle habituellement composantes d'un vecteur, ces deux notions ne coïncident qu'en coordonnées cartésiennes orthogonales.
Remarque. — Dans la plupart des cas usuels, les coordonnées curvilignes employées sont orthogonales y c'est-à-dire que le Irièdre des tangentes est trirectangle et se confond avec le triédre des normales. Comme le montrent alors les formules (4), le ds^ ne contient que des termes carrés et le groupe des formules (6) se réduit à une seule formule.
On en déduit de suite qu'il y a entre les composantes contrevariantes et covariantes de même rang les relations simples
OU encore j
^ (sans sommation) (i).
ce qui entraîne I
" ~ Srr )
59. Longueur d'un vecteur. — En coordonnées cartésiennes orthogonales, la longueur du vecteur (MV) est donnée par la formule
qui peut s'écrire tout aussi bien
l' = likY^'''
Or, sous cette dernière forme, le second membre a le caractère tensoriel d'un invariant et par suite, dans un système de coordonnées quelconques, la longueur s'exprimera sous la forme
(7) l-=-gik'^^V' = h-\''= g'^^iU-
(') Le lecteur pourra à titre d'exercice appliquer ce qui vient d'être dit des coordonnées curvilignes aux coordonnées cartésiennes obliques; ce cas est caractérisé par le fait que les coefficients g\^ sont des constantes et que^ de plus,
bjk
I si i = k.
78 CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES ET MÉf ANIQUES.
60. Produit scalaire de deux vecteurs. — Étant donnés deux vecteurs (MV) et (MV), de composantes respectives ^' et V dans le sjstcme carlésien orthogonal, on appelle produit scalaire de ces deux vecteurs l'expression
qui peut encore s'écrire
gikî'r,^-
Sous cette forme, cette expression a ici encore le caractère tensoriel d'un invariant; en coordonnées générales, le produit scalaire aura donc pour valeur
.4'7iP'iQ*= Çi-/j^= l^'r^k=- gHi-^ik'
61. Élément linéaire à deux dimensions. — Soient deux ve(;teurs indépendants (-) (MV) et (MV), issus du point M. Ces deux vecteurs déterminent : i° un plan passant par M; 2° une aire, celle du parallélogramme construit sur g\i\] 3^ un sens de rotation dans ce plan, si l'on énonce les vecteurs dans un ordre déterminé.
En coordonnées cartésiennes rectangulaires, ces trois éléments plan, aire et sens sont parfaitement déterminés pap la donnée des trois déterminants
an
ri'
qui mesurent algébriquement les aires des projections du parallélogramme en question sur les plans de coordonnées. Inversement
du reste, la donnée des seules quantités <t'-, t-', a--*' permet de remonter d'une infinité de manières aux vecteurs (MV) et (MV) qui ont donné naissance eux éléments géométriques considérés. Nous conviendrons donc de dire que ces trois quantités déterminent un élément linéaire à deux dimensions qui sera, pour les multiplicités à deux dimensions, le correspondant du vecteur pour les multiplicités à une dimension.
(1) Ce produit scalaire est encore égal, comme l'on sait, au produit des longueurs des deux vecteurs par le cosinus de leur angle. .'') C'ést-à-dire n'ayant pas le même support.
