CHAPITRE III. — ESPACES EUCMDIE.NS A TROIS DIMENSIONS

Aux élémenls

support rectiligne, longueur, sens,

déterminant le vecteur, correspondront les éléments support plan, aire, beus de rotation,

déterminant l'élément linéaire.

Les composantes de lélément, qu'on ])eut écrire sous forme aljj'égée

se transformeront d'après les lois tensorielles et détermineront dans un système de coordonnées quelconques un tenseur du second ordre symétrique g;auche

^ik — ^i-rl' 'Zkyi

et inversement tout tenseur symétrique gauche du second ordre est susceptible de cette interprétation géométrique (^).

Aire de l'élément linéaire à deux dimensions. — En coordonnées cartésiennes rec^tangulaires, cette aire serait donnée par la formule

qu'on peut encore écrire

Cette expression étant mise sous forme tensorielle, on aura donc aussi en coordonnées ourvilignes quelconques

(') Cette interprétation n'est cependant valHl>le t(ue p(»ur l'espae( à trois Hinn nnions (cf. Pàutj. Belativitatstheorie, p 578).

Le leeteur pourra rectïercher, en appliquant les lornuiles (6), la sijînifi< ation ^onu'trique des composantes générales c'^ (ou des coinposaiites (\>\arianles). signification particulièrement simple si les conr<lonnées curvilignes sont ortliogonal«js.

H. Wt appelle ler. tenseurs de ne type des t'uscurs linéaires «lu second ordre.

(') L'élément linéaire à deux dimensions pourrait encore être déterminé par la donnée dans un plaii d'une courbe fermée atrectée d'un sens de parcours. Si

8o CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES ET MÉCAMQUES.

62. Élément linéaire à trois dimensions. — Trois vecteurs (MV), (MV), (MV), issus du point M et non situés dans un même plan, déterminent un volume : celui du parallélépipède construit sur eux^ volume que l'on peut affecter d'un signe si les vecteurs sont énoncés dans un ordre déterminé.

En coordonnées cartésiennes rectangulaires, ce volume a pour expression

i', r/, Ç* désignant les composantes respectives des trors vecteurs.

Pour avoir ce volume en coordonnées générales, il suffit

d^exprimer ;^, r/, J^'en fonction de ^% y)'-, Ç* [form. (4), Chap. Il] et

les règles de multiplication des déterminants donneront de suite

Or, on a

rr-

D(ir', x^, x-^)

et comme ici « =z i , on met l'expression du volume eji coordonnées générales sous la forme

(lo)