II. — EXEMPLES ET APPLICATIONS TIRÉS DE LA MÉGANIQUE CLASSIQUE

Nous traiterons tous ces exemples, à moins d'indications contraires en coordonnées cartésiennes (rectangulaires ou

les x' représentent les coordonnées d'un point courant de la courbe, les composantes de l'élément seront les intégrales

(j'^ = - I x'dx^ — x^ dx^ 2 J

étendues au contour parcouru dans le sens donné.

CIIAPITRK ni. — KSPACES EUCLIDIENS A THOIS DIMENSIONS. 8l

obliques)^ c'esl-à-dire que nous n*envisagerons que les siibslilutions linéaires sur les variables qui constituent les transformalions de coordonnées bien connues. L'égalité des composantes de même type de deux tenseurs attachés en des points différents a alors uue signification indépendante du système de coordonnées et caractérise des tenseurs èquipoUents.

63. Exemples de tenseurs du premier ordre. — Vitesse et accélération. — Soit un point M mobile par rapport à uri certain système d'axes, ses coordonnées x'' prendront si le temps varie de l'instant t à l'instant t A- dt des accroissements dont les parties principales dx*^ représentent par nature même les composantes contrevariantes d'un vecteur infiniment petit.

Le vecteur (V), vitesse du point M, aura ainsi des composantes contrevariantes données par les formules

De la formule de transformation qui en découle : m'= x',.u'., on

déduit, par dérivation, puisque ici les dérivées partielles x',. sont des constantes (-),

dii'^ — ■ du'' —— — x'. — — »

dt ' dt

ce qui donne les composantes contrevariantes de l'accélération sous la forme

du^ d^x''

Quantité de mouvement. — Si l'on appelle m la niasse du point M, la quantité de mouvement de ce point sera le vecteur m{y) ayant les composantes contrevariantes /;^ m'.

(') Ces coinposanles coiilrc\ariantes coïncident avec les composantes de la vitesse au sens habituel du mot en vertu des formules (6) de ce Ctiapitre et de la remarque faite en note page 77. Il n'en serait pas ainsi si les coordonnées employées étaient curvilignes.

(') Naturellement tout ceci suppose que les x^ sont soumises à des substitutions linéaires à coefficients indépendants du temps, c'est-à-dire que l'on passe d'un système d'axes de coordonnées à un autre au repos par rapport à lui. L'étude du cas où il n'en serait pas ainsi pcrmeilrait de retrouver les théorèmes do composition des vitesses ou des accélérations.

Si enfin on a plusieurs points matériels formant un système déformable ou rigide, on appellera quantité de mouvement du système la somme géométrique des quantités de mouvement de chacun des points; c'est donc un vecteur libre^ ayant pour composantes contrevariantes

(i3) G' = CmM%

le signe V désignant une sommation étendue aux différents points matériels (* ).

Force, — Supposons qu'au point M soit appliquée une certaine force (F).

1° Nous pourrons la regarder comme productrice d'accélération et la déterminer au moyen de l'équation vectorielle

(force) = masse X (accélération).

Considérée de ce point de vue, la force apparaîtra comme un tenseur du premier ordre ayant pour composantes contrevariantes les quantités

(i4) X^'=mY^

2'* Nous pouvons au contraire partir de la notion de travail. Supposons que nous donnions successivement au point M trois déplacements virtuels égaux à l'unité de longueur positive parallèlement à chacun des axes de coordonnées et soient X,, X2, X3 les travaux correspondants effectués par la force.

Dans un déplacement infiniment petit quelconque du point M, de composantes dx^^ le travail effectué par la force aura pour

expression

Xi dxK

Or ce travail a une signification physique indépendante du système de coordonnées, c'est donc un invariant, et cela quel que soit le déplacement dx'^. Les quantités Xj apparaissent alors comme les composantes covariantes de la force, composantes qui

('; Cette .sommation serait naturellement remplacée par une intégration dans le ca.s d'un système continu.